T1: Interacción gravitatoria

Órbitas de satélites

Teoría

2021 · Ordinaria · Reserva

A.2-a

a) Dos satélites idénticos, A y B, están en órbita alrededor de la Tierra, siendo sus órbitas de distinto radio:

R_A = 3R_B

. Determine la relación entre sus velocidades orbitales y justifique cuál de los dos se mueve a mayor velocidad.

SatélitesVelocidad orbitalLeyes de Kepler

a) Para un satélite en órbita circular alrededor de un cuerpo de masa

M

(en este caso, la Tierra), la fuerza gravitatoria actúa como fuerza centrípeta. La masa del satélite es

m

, su velocidad orbital es

v

y el radio de la órbita es

R

F_g = F_c

G \frac{M m}{R^2} = \frac{m v^2}{R}

Despejando la velocidad orbital $v$ :

v = \sqrt{\frac{G M}{R}}

Para los satélites A y B, sus velocidades orbitales serán:

v_A = \sqrt{\frac{G M}{R_A}}

v_B = \sqrt{\frac{G M}{R_B}}

Para determinar la relación entre sus velocidades, dividimos $v_A$ entre $v_B$ :

\frac{v_A}{v_B} = \frac{\sqrt{\frac{G M}{R_A}}}{\sqrt{\frac{G M}{R_B}}} = \sqrt{\frac{R_B}{R_A}}

Dado que $R_A = 3R_B$ , sustituimos este valor en la relación:

\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{R_B}{3R_B}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}

Por lo tanto, la relación entre sus velocidades orbitales es:

v_A = \frac{1}{\sqrt{3}} v_B \approx 0.577 v_B

Justificación de cuál se mueve a mayor velocidad:De la expresión de la velocidad orbital $v = \sqrt{\frac{G M}{R}}$ , se observa que la velocidad orbital es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del radio de la órbita. Esto significa que a mayor radio orbital ( $R$ ), menor será la velocidad orbital ( $v$ ). Dado que $R_A = 3R_B$ , el satélite A se encuentra en una órbita de mayor radio que el satélite B. En consecuencia, el satélite B (con menor radio orbital) se moverá a mayor velocidad que el satélite A.

v_B > v_A