T3: Programación lineal · Optimización lineal — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2021

Optimización lineal

Problema

2021 · Extraordinaria · Suplente

BLOQUE A

Un laboratorio farmacéutico tiene una línea de producción con dos medicamentos A y B, con marca comercial y genérico respectivamente, de los cuales, entre los dos como máximo puede fabricar 10 unidades a la hora. Desde el punto de vista del rendimiento, se han de producir al menos 4 unidades por hora entre los dos y por motivos de política sanitaria, la producción de A ha de ser como mucho 2 unidades más que la de B.Cada unidad de tipo A que vende le produce un beneficio de 60 euros, mientras que cada unidad de tipo B le produce un beneficio de 25 euros. Si se vende todo lo que se produce, determine las unidades de cada medicamento que deberá fabricar por hora para maximizar su beneficio y obtenga el valor de dicho beneficio.

OptimizaciónSistemas de inecuacionesFunción objetivo

Resolución del problema de programación lineal

En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema:

x

: Unidades del medicamento A producidas por hora.

y

: Unidades del medicamento B producidas por hora.

A partir del enunciado, establecemos la función objetivo, que representa el beneficio total, y el sistema de restricciones:Función objetivo a maximizar: $f(x, y) = 60x + 25y$ Restricciones:

1) Producción máxima conjunta:

x + y \le 10

2) Producción mínima conjunta:

x + y \ge 4

3) Política sanitaria (

A \le B + 2

x - y \le 2

4) No negatividad:

x \ge 0, y \ge 0

Para determinar la región factible, calculamos los vértices del polígono resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por las rectas de las restricciones:

Vértice

A

: Intersección de

x = 0

x + y = 4 \rightarrow A(0, 4)

Vértice

B

: Intersección de

x = 0

x + y = 10 \rightarrow B(0, 10)

Vértice

C

: Intersección de

x + y = 10

x - y = 2 \rightarrow C(6, 4)

Vértice

D

: Intersección de

x + y = 4

x - y = 2 \rightarrow D(3, 1)

Evaluamos la función objetivo $f(x, y) = 60x + 25y$ en cada uno de los vértices para hallar el beneficio máximo:

f(0, 4) = 60(0) + 25(4) = 100 \text{ euros}

f(0, 10) = 60(0) + 25(10) = 250 \text{ euros}

f(6, 4) = 60(6) + 25(4) = 360 + 100 = 460 \text{ euros}

f(3, 1) = 60(3) + 25(1) = 180 + 25 = 205 \text{ euros}

El beneficio máximo se alcanza en el punto $(6, 4)$ . Por lo tanto, para maximizar el beneficio, el laboratorio debe fabricar 6 unidades del medicamento A y 4 unidades del medicamento B por hora. El valor del beneficio máximo asciende a 460 euros.