a) Calcula m m m para que A B AB A B no tenga inversa. Primero, calculamos el producto de las matrices A A A y B B B .
A B = ( 1 − 1 0 1 m 1 ) ( 1 1 0 2 m − 1 ) = ( ( 1 ) ( 1 ) + ( − 1 ) ( 0 ) + ( 0 ) ( m ) ( 1 ) ( 1 ) + ( − 1 ) ( 2 ) + ( 0 ) ( − 1 ) ( 1 ) ( 1 ) + ( m ) ( 0 ) + ( 1 ) ( m ) ( 1 ) ( 1 ) + ( m ) ( 2 ) + ( 1 ) ( − 1 ) ) AB = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & m & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \\ m & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(1)+(-1)(0)+(0)(m) & (1)(1)+(-1)(2)+(0)(-1) \\ (1)(1)+(m)(0)+(1)(m) & (1)(1)+(m)(2)+(1)(-1) \end{pmatrix} A B = ( 1 1 − 1 m 0 1 ) 1 0 m 1 2 − 1 = ( ( 1 ) ( 1 ) + ( − 1 ) ( 0 ) + ( 0 ) ( m ) ( 1 ) ( 1 ) + ( m ) ( 0 ) + ( 1 ) ( m ) ( 1 ) ( 1 ) + ( − 1 ) ( 2 ) + ( 0 ) ( − 1 ) ( 1 ) ( 1 ) + ( m ) ( 2 ) + ( 1 ) ( − 1 ) ) A B = ( 1 − 1 1 + m 2 m ) AB = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1+m & 2m \end{pmatrix} A B = ( 1 1 + m − 1 2 m ) Para que la matriz A B AB A B no tenga inversa, su determinante debe ser cero.
det ( A B ) = ( 1 ) ( 2 m ) − ( − 1 ) ( 1 + m ) = 2 m + ( 1 + m ) = 3 m + 1 \det(AB) = (1)(2m) - (-1)(1+m) = 2m + (1+m) = 3m+1 det ( A B ) = ( 1 ) ( 2 m ) − ( − 1 ) ( 1 + m ) = 2 m + ( 1 + m ) = 3 m + 1 Igualamos el determinante a cero para encontrar el valor de m m m :
3 m + 1 = 0 ⟹ 3 m = − 1 ⟹ m = − 1 3 3m+1 = 0 \implies 3m = -1 \implies m = -\frac{1}{3} 3 m + 1 = 0 ⟹ 3 m = − 1 ⟹ m = − 3 1 Por lo tanto, para que A B AB A B no tenga inversa, m m m debe ser − 1 3 -\frac{1}{3} − 3 1 .
b) Estudia el rango de la matriz B A BA B A según los valores de m m m . Primero, calculamos el producto de las matrices B B B y A A A .
B A = ( 1 1 0 2 m − 1 ) ( 1 − 1 0 1 m 1 ) = ( ( 1 ) ( 1 ) + ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( − 1 ) + ( 1 ) ( m ) ( 1 ) ( 0 ) + ( 1 ) ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) + ( 2 ) ( 1 ) ( 0 ) ( − 1 ) + ( 2 ) ( m ) ( 0 ) ( 0 ) + ( 2 ) ( 1 ) ( m ) ( 1 ) + ( − 1 ) ( 1 ) ( m ) ( − 1 ) + ( − 1 ) ( m ) ( m ) ( 0 ) + ( − 1 ) ( 1 ) ) BA = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \\ m & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & m & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(1)+(1)(1) & (1)(-1)+(1)(m) & (1)(0)+(1)(1) \\ (0)(1)+(2)(1) & (0)(-1)+(2)(m) & (0)(0)+(2)(1) \\ (m)(1)+(-1)(1) & (m)(-1)+(-1)(m) & (m)(0)+(-1)(1) \end{pmatrix} B A = 1 0 m 1 2 − 1 ( 1 1 − 1 m 0 1 ) = ( 1 ) ( 1 ) + ( 1 ) ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) + ( 2 ) ( 1 ) ( m ) ( 1 ) + ( − 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( − 1 ) + ( 1 ) ( m ) ( 0 ) ( − 1 ) + ( 2 ) ( m ) ( m ) ( − 1 ) + ( − 1 ) ( m ) ( 1 ) ( 0 ) + ( 1 ) ( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) + ( 2 ) ( 1 ) ( m ) ( 0 ) + ( − 1 ) ( 1 ) B A = ( 2 m − 1 1 2 2 m 2 m − 1 − 2 m − 1 ) BA = \begin{pmatrix} 2 & m-1 & 1 \\ 2 & 2m & 2 \\ m-1 & -2m & -1 \end{pmatrix} B A = 2 2 m − 1 m − 1 2 m − 2 m 1 2 − 1 Ahora, calculamos el determinante de B A BA B A para estudiar su rango.
det ( B A ) = 2 ∣ 2 m 2 − 2 m − 1 ∣ − ( m − 1 ) ∣ 2 2 m − 1 − 1 ∣ + 1 ∣ 2 2 m m − 1 − 2 m ∣ \det(BA) = 2 \begin{vmatrix} 2m & 2 \\ -2m & -1 \end{vmatrix} - (m-1) \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ m-1 & -1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 2 & 2m \\ m-1 & -2m \end{vmatrix} det ( B A ) = 2 2 m − 2 m 2 − 1 − ( m − 1 ) 2 m − 1 2 − 1 + 1 2 m − 1 2 m − 2 m det ( B A ) = 2 ( − 2 m − ( − 4 m ) ) − ( m − 1 ) ( − 2 − 2 ( m − 1 ) ) + 1 ( − 4 m − 2 m ( m − 1 ) ) \det(BA) = 2(-2m - (-4m)) - (m-1)(-2 - 2(m-1)) + 1(-4m - 2m(m-1)) det ( B A ) = 2 ( − 2 m − ( − 4 m )) − ( m − 1 ) ( − 2 − 2 ( m − 1 )) + 1 ( − 4 m − 2 m ( m − 1 )) det ( B A ) = 2 ( 2 m ) − ( m − 1 ) ( − 2 − 2 m + 2 ) + ( − 4 m − 2 m 2 + 2 m ) \det(BA) = 2(2m) - (m-1)(-2 - 2m + 2) + (-4m - 2m^2 + 2m) det ( B A ) = 2 ( 2 m ) − ( m − 1 ) ( − 2 − 2 m + 2 ) + ( − 4 m − 2 m 2 + 2 m ) det ( B A ) = 4 m − ( m − 1 ) ( − 2 m ) + ( − 2 m 2 − 2 m ) \det(BA) = 4m - (m-1)(-2m) + (-2m^2 - 2m) det ( B A ) = 4 m − ( m − 1 ) ( − 2 m ) + ( − 2 m 2 − 2 m ) det ( B A ) = 4 m − ( − 2 m 2 + 2 m ) − 2 m 2 − 2 m \det(BA) = 4m - (-2m^2 + 2m) - 2m^2 - 2m det ( B A ) = 4 m − ( − 2 m 2 + 2 m ) − 2 m 2 − 2 m det ( B A ) = 4 m + 2 m 2 − 2 m − 2 m 2 − 2 m = 0 \det(BA) = 4m + 2m^2 - 2m - 2m^2 - 2m = 0 det ( B A ) = 4 m + 2 m 2 − 2 m − 2 m 2 − 2 m = 0 Dado que det ( B A ) = 0 \det(BA) = 0 det ( B A ) = 0 para todos los valores de m m m , el rango de B A BA B A nunca será 3. Por lo tanto, rg ( B A ) < 3 \text{rg}(BA) < 3 rg ( B A ) < 3 . Para determinar si el rango es 2, necesitamos encontrar al menos un menor de orden 2 cuyo determinante sea distinto de cero. Consideremos el menor formado por las filas 1 y 2 y las columnas 1 y 3:
∣ 2 1 2 2 ∣ = ( 2 ) ( 2 ) − ( 1 ) ( 2 ) = 4 − 2 = 2 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = (2)(2) - (1)(2) = 4 - 2 = 2 2 2 1 2 = ( 2 ) ( 2 ) − ( 1 ) ( 2 ) = 4 − 2 = 2 Este menor de orden 2 es igual a 2, que es distinto de cero, y no depende del valor de m m m . Dado que hemos encontrado un menor de orden 2 no nulo, el rango de la matriz B A BA B A es al menos 2. En conclusión, como det ( B A ) = 0 \det(BA) = 0 det ( B A ) = 0 para todo m m m (lo que implica que rg ( B A ) < 3 \text{rg}(BA) < 3 rg ( B A ) < 3 ) y existe un menor de orden 2 no nulo (lo que implica que rg ( B A ) ≥ 2 \text{rg}(BA) \ge 2 rg ( B A ) ≥ 2 ), el rango de la matriz B A BA B A es 2 para cualquier valor de m m m .
