T1: Interacción gravitatoria

Campo gravitatorio

Teoría

2016 · Ordinaria · Titular

1B-a

a) Defina velocidad de escape de un planeta y deduzca su expresión.

Velocidad de escapeEnergía mecánica

a) Definición y deducción de la velocidad de escape

La velocidad de escape de un planeta es la velocidad mínima que debe tener un objeto en la superficie de dicho planeta para poder alejarse indefinidamente de él sin necesidad de recibir ningún impulso adicional, venciendo la atracción gravitatoria sin retornar.

Deducción de la expresión

Para deducirla aplicamos el principio de conservación de la energía mecánica. El objeto de masa $m$ se encuentra inicialmente en la superficie del planeta (radio $R$ , masa $M$ ) con velocidad $v_e$ . En el infinito, la condición mínima implica que tanto la velocidad como la energía potencial son nulas.La energía mecánica en la superficie del planeta es:

E_{sup} = E_c + E_p = \frac{1}{2}mv_e^2 - \frac{GMm}{R}

La energía mecánica en el infinito (condición de escape mínimo, $v = 0$ y $E_p = 0$ ):

E_{\infty} = 0

Aplicando conservación de la energía mecánica:

E_{sup} = E_{\infty}

\frac{1}{2}mv_e^2 - \frac{GMm}{R} = 0

Despejando $v_e$ :

\frac{1}{2}mv_e^2 = \frac{GMm}{R}

v_e^2 = \frac{2GM}{R}

\boxed{v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}}

Donde $G$ es la constante de gravitación universal, $M$ la masa del planeta y $R$ su radio. Nótese que la velocidad de escape es independiente de la masa del objeto lanzado.También puede expresarse en función de la aceleración de la gravedad superficial $g = \dfrac{GM}{R^2}$ , sustituyendo $GM = gR^2$ :

v_e = \sqrt{2gR}