T5: Física moderna · Ondas de materia — FISICA PEvAU Andalucía 2021

Ondas de materia

Problema

2021 · Extraordinaria · Titular

D2-b

b) Una partícula alfa (

\alpha

) emitida en el decaimiento radiactivo del

\ce{^{238}U}

posee una energía cinética de

6,72 \cdot 10^{-13} \text{ J}

. i) ¿Cuánto vale su longitud de onda de De Broglie asociada? ii) ¿Qué diferencia de potencial debería existir en una región del espacio para detener por completo la partícula alfa? Indique mediante un esquema la dirección y sentido del campo necesario para ello. Razone todas sus respuestas.

Datos: $h = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J s}$ ; $m_{\alpha} = 6,64 \cdot 10^{-27} \text{ kg}$ ; $e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}$

Longitud de onda de De BrogliePotencial de frenadoPartícula alfa

b) i) Para calcular la longitud de onda de De Broglie (

\lambda

), necesitamos la cantidad de movimiento (

p

) de la partícula alfa.

La energía cinética ( $E_c$ ) y la cantidad de movimiento ( $p$ ) están relacionadas por la expresión:

E_c = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{p^2}{2m}

De aquí, podemos despejar la cantidad de movimiento:

p = \sqrt{2m E_c}

La longitud de onda de De Broglie se calcula con la fórmula:

\lambda = \frac{h}{p}

Sustituyendo la expresión de $p$ en la fórmula de $\lambda$ :

\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m E_c}}

Ahora, sustituimos los valores dados:

h = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J s}

m_{\alpha} = 6,64 \cdot 10^{-27} \text{ kg}

E_c = 6,72 \cdot 10^{-13} \text{ J}

\lambda = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J s}}{\sqrt{2 \cdot (6,64 \cdot 10^{-27} \text{ kg}) \cdot (6,72 \cdot 10^{-13} \text{ J})}}

\lambda = \frac{6,63 \cdot 10^{-34}}{\sqrt{8,91936 \cdot 10^{-39}}} \text{ m}

\lambda = \frac{6,63 \cdot 10^{-34}}{9,44423 \cdot 10^{-20}} \text{ m}

\lambda \approx 7,02 \cdot 10^{-15} \text{ m}

b) ii) Para detener la partícula alfa, su energía cinética inicial debe ser convertida en energía potencial eléctrica. La relación entre la energía cinética perdida y la diferencia de potencial (

\Delta V

) es dada por el teorema de la energía cinética para el trabajo eléctrico.

La carga de la partícula alfa es $q_{\alpha} = +2e$ :

q_{\alpha} = 2 \cdot (1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}) = 3,2 \cdot 10^{-19} \text{ C}

La energía cinética inicial es $E_{c,i} = 6,72 \cdot 10^{-13} \text{ J}$ . La energía cinética final ( $E_{c,f}$ ) es $0 \text{ J}$ ya que la partícula se detiene. El trabajo realizado por el campo eléctrico ( $W_E$ ) es igual al cambio en la energía cinética:

W_E = E_{c,f} - E_{c,i} = 0 - E_{c,i} = -E_{c,i}

El trabajo realizado por el campo eléctrico también se relaciona con la diferencia de potencial como $W_E = -q_{\alpha} \Delta V$ , donde $\Delta V = V_f - V_i$ . Igualando ambas expresiones para $W_E$ :

-q_{\alpha} \Delta V = -E_{c,i}

q_{\alpha} \Delta V = E_{c,i}

Despejamos la diferencia de potencial $\Delta V$ :

\Delta V = \frac{E_{c,i}}{q_{\alpha}}

Sustituyendo los valores:

\Delta V = \frac{6,72 \cdot 10^{-13} \text{ J}}{3,2 \cdot 10^{-19} \text{ C}}

\Delta V = 2,1 \cdot 10^6 \text{ V}

La diferencia de potencial necesaria para detener completamente la partícula alfa es de $2,1 \cdot 10^6 \text{ V}$ . Este valor positivo de $\Delta V$ significa que el potencial final ( $V_f$ ) debe ser mayor que el potencial inicial ( $V_i$ ), es decir, la partícula se mueve hacia una región de mayor potencial.Esquema de la dirección y sentido del campo eléctrico:Para detener una partícula con carga positiva ( $q_{\alpha} > 0$ ), la fuerza eléctrica ( $\vec{F} = q_{\alpha} \vec{E}$ ) debe oponerse a la dirección de su movimiento inicial. Dado que la partícula alfa tiene carga positiva, la dirección de la fuerza eléctrica debe ser la misma que la del campo eléctrico ( $\vec{E}$ ). Por lo tanto, el campo eléctrico debe apuntar en la dirección opuesta al movimiento de la partícula.Si asumimos que la partícula alfa se mueve inicialmente hacia la derecha, el campo eléctrico necesario para detenerla debe apuntar hacia la izquierda.

En el esquema, la partícula alfa es una carga positiva. Si su velocidad inicial es hacia la derecha, el campo eléctrico debe apuntar hacia la izquierda para ejercer una fuerza que la frene. Esto implica que la partícula se moverá desde una región de potencial más bajo hacia una región de potencial más alto.