La matriz $A$ es una matriz de rotación de la forma R(\theta) = egin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.Comparando $A$ con la matriz de rotación, obtenemos:

Estas condiciones corresponden a un ángulo de $\theta = \frac{2\pi}{3}$ radianes (o $120^\circ$). Por lo tanto, $A = R\left(\frac{2\pi}{3}\right)$.Para una matriz de rotación, $R(\theta)^n = R(n\theta)$. Esto implica que $A^n = R\left(n\frac{2\pi}{3}\right)$. También podemos observar la periodicidad de $A$. Como $\frac{2\pi}{3}$ es un tercio de $2\pi$, la matriz $A$ tiene un periodo de 3, es decir, $A^3 = I$ (la matriz identidad).Cálculo de $A^{37}$:

Por lo tanto, $A^{37} = A^1 = A$.

Cálculo de $A^{41}$:

Por lo tanto, $A^{41} = A^2$. Calculamos $A^2$:

Para calcular el determinante $\det(3A^{52}(A^t)^4)$, utilizaremos las siguientes propiedades de los determinantes para una matriz $M$ de $n \times n$ y un escalar $k$:

Dado que $A$ es una matriz de $2 \times 2$, $n=2$. Aplicando las propiedades:

Como $\det(A^t) = \det(A)$, la expresión se simplifica a:

Ahora, calculamos el determinante de $A$:

Finalmente, sustituimos el valor de $\det(A)$ en la expresión: