T6: Teoría de muestras · Muestreo y distribución de la media — MATEMATICA APLICADAS A LAS CIENCIA SOCIALES II PEvAU Andalucía 2023

Muestreo y distribución de la media

Problema

2023 · Ordinaria · Titular

BLOQUE D - EJERCICIO 7

a) Una población está dividida en cuatro estratos de

250, 300, 400

350

individuos. Realizado un muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional se han seleccionado

20

individuos del primer estrato. Determine el tamaño de la población, el tamaño de la muestra y el número de individuos seleccionados de los tres restantes estratos.

b) En un centro de enseñanza la calificación media de los estudiantes fue de $6.4$ puntos con una desviación típica de $0.7$ puntos. Se seleccionó aleatoriamente una muestra de $49$ estudiantes.

b1) Indique la distribución que sigue la media de las muestras de tamaño

49

.b2) Calcule la probabilidad de que la media de las calificaciones de los estudiantes de una de esas muestras esté comprendida entre

6.3

6.8

puntos.

Muestreo estratificadoDistribución NormalMedia muestral

a) En primer lugar, se calcula el tamaño total de la población (

N

) sumando los individuos de cada estrato.

N = N_1 + N_2 + N_3 + N_4 = 250 + 300 + 400 + 350 = 1300

El tamaño de la población es $1300$ individuos.Dado que el muestreo es con afijación proporcional, la proporción de individuos seleccionados en cada estrato es constante e igual a la proporción de la muestra total respecto a la población total. Podemos calcular esta proporción a partir del primer estrato, del cual conocemos el tamaño ( $N_1 = 250$ ) y la muestra seleccionada ( $n_1 = 20$ ).

\frac{n_1}{N_1} = \frac{20}{250} = 0.08

Esta proporción es la misma para el tamaño de la muestra total ( $n$ ) y el tamaño de la población total ( $N$ ):

\frac{n}{N} = 0.08 \Rightarrow n = N \cdot 0.08 = 1300 \cdot 0.08 = 104

El tamaño de la muestra es $104$ individuos.Ahora calculamos el número de individuos seleccionados de los tres restantes estratos utilizando la misma proporción:

n_2 = N_2 \cdot 0.08 = 300 \cdot 0.08 = 24

n_3 = N_3 \cdot 0.08 = 400 \cdot 0.08 = 32

n_4 = N_4 \cdot 0.08 = 350 \cdot 0.08 = 28

El número de individuos seleccionados de los estratos restantes son: $24$ del segundo estrato, $32$ del tercer estrato y $28$ del cuarto estrato.

b1) Según el Teorema Central del Límite, dado que el tamaño de la muestra (

n=49

) es mayor que

30

, la distribución de la media de las muestras (

\bar{X}

) seguirá una distribución normal, independientemente de la distribución de la población original.

La media de la distribución de las medias muestrales es igual a la media de la población:

E(\bar{X}) = \mu = 6.4

La desviación típica de la distribución de las medias muestrales (error estándar) es:

\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0.7}{\sqrt{49}} = \frac{0.7}{7} = 0.1

Por lo tanto, la distribución que sigue la media de las muestras de tamaño $49$ es una distribución normal con media $6.4$ y desviación típica $0.1$ :

\bar{X} \sim N(6.4, 0.1)

b2) Se pide calcular la probabilidad de que la media de las calificaciones de los estudiantes de una de esas muestras esté comprendida entre

6.3

6.8

puntos, es decir,

P(6.3 < \bar{X} < 6.8)

. Para ello, estandarizamos los valores a una distribución normal estándar

Z \sim N(0,1)

Z_1 = \frac{6.3 - 6.4}{0.1} = \frac{-0.1}{0.1} = -1

Z_2 = \frac{6.8 - 6.4}{0.1} = \frac{0.4}{0.1} = 4

Entonces, la probabilidad se convierte en $P(-1 < Z < 4)$ . Podemos expresar esto como la diferencia de probabilidades acumuladas:

P(-1 < Z < 4) = P(Z < 4) - P(Z < -1)

Utilizando la tabla de la distribución normal estándar o una calculadora, sabemos que:

P(Z < 4) \approx 0.999968

Y, por simetría, $P(Z < -1) = 1 - P(Z < 1)$ . Consultando la tabla:

P(Z < 1) = 0.8413

P(Z < -1) = 1 - 0.8413 = 0.1587

Finalmente, calculamos la probabilidad solicitada:

P(-1 < Z < 4) = 0.999968 - 0.1587 = 0.841268

Redondeando a cuatro decimales, la probabilidad es $0.8413$ .