T4: Funciones · Optimización y puntos críticos — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2021

Optimización y puntos críticos

Problema

2021 · Extraordinaria · Titular

EJERCICIO 2

Halla $a > 0$ y $b > 0$ sabiendo que la gráfica de la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por:

f(x) = \frac{bx^2}{1 + ax^4}

tiene en el punto $(1, 2)$ un punto crítico.

AnálisisDerivadasPuntos críticos

Dado que la gráfica de la función $f(x)$ pasa por el punto $(1, 2)$ , se cumple que $f(1) = 2$ . Sustituyendo en la expresión de la función:

f(1) = \frac{b(1)^2}{1 + a(1)^4} = 2

\frac{b}{1 + a} = 2

b = 2(1 + a)

b = 2 + 2a \quad (1)

El punto $(1, 2)$ es un punto crítico, lo que significa que la derivada de la función en $x = 1$ es cero, es decir, $f'(1) = 0$ .Primero, calculamos la primera derivada de $f(x)$ usando la regla del cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ .

f(x) = \frac{bx^2}{1 + ax^4}

u = bx^2 \implies u' = 2bx

v = 1 + ax^4 \implies v' = 4ax^3

f'(x) = \frac{(2bx)(1 + ax^4) - (bx^2)(4ax^3)}{(1 + ax^4)^2}

f'(x) = \frac{2bx + 2abx^5 - 4abx^5}{(1 + ax^4)^2}

f'(x) = \frac{2bx - 2abx^5}{(1 + ax^4)^2}

f'(x) = \frac{2bx(1 - ax^4)}{(1 + ax^4)^2}

Ahora, imponemos la condición $f'(1) = 0$ :

f'(1) = \frac{2b(1)(1 - a(1)^4)}{(1 + a(1)^4)^2} = 0

\frac{2b(1 - a)}{(1 + a)^2} = 0

Dado que se nos pide que $b > 0$ y $a > 0$ , el denominador $(1+a)^2$ no puede ser cero y $2b$ tampoco. Por lo tanto, el numerador debe ser cero:

1 - a = 0

a = 1 \quad (2)

Sustituimos el valor de $a$ en la ecuación (1):

b = 2 + 2(1)

b = 4

Los valores obtenidos $a=1$ y $b=4$ cumplen las condiciones $a>0$ y $b>0$ .