T1: Interacción gravitatoria

Energía en el campo gravitatorio

Teoría

2020 · Ordinaria · Reserva

5-a

a) Dos cuerpos de masas

m

2m

se encuentran sobre la superficie de un planeta. Razone la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: i) Las velocidades de escape de ambas masas son diferentes. ii) La energía cinética que deben tener ambos cuerpos para escapar de la atracción gravitatoria es la misma.

Velocidad de escapeEnergía cinéticaPotencial gravitatorio

a) i) Las velocidades de escape de ambas masas son diferentes.

La velocidad de escape $v_e$ de un cuerpo desde la superficie de un planeta de masa $M$ y radio $R$ se calcula a partir de la conservación de la energía mecánica. Para que un objeto escape de la atracción gravitatoria del planeta, su energía mecánica final (cuando está infinitamente lejos y en reposo, $E_{mf} = 0$ ) debe ser igual o mayor que su energía mecánica inicial en la superficie del planeta. Por lo tanto, la energía mecánica inicial debe ser cero:

E_{mi} = E_k + E_p = \frac{1}{2}mv_e^2 - G\frac{Mm}{R} = 0

Despejando la velocidad de escape $v_e$ :

\frac{1}{2}mv_e^2 = G\frac{Mm}{R}

Observamos que la masa del objeto que escapa, $m$ , se cancela en la ecuación:

v_e^2 = \frac{2GM}{R}

v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}

Esta expresión para la velocidad de escape $v_e$ no depende de la masa del objeto que intenta escapar ( $m$ ), sino solo de la masa del planeta ( $M$ ) y su radio ( $R$ ). Dado que ambos cuerpos (de masas $m$ y $2m$ ) se encuentran sobre la superficie del mismo planeta, la velocidad de escape es la misma para ambos. Por lo tanto, la afirmación i) es falsa.

a) ii) La energía cinética que deben tener ambos cuerpos para escapar de la atracción gravitatoria es la misma.

La energía cinética necesaria para que un cuerpo de masa $m'$ escape de la atracción gravitatoria es la energía cinética inicial que debe poseer para alcanzar la velocidad de escape $v_e$ . Se calcula con la fórmula general de la energía cinética:

E_k = \frac{1}{2}m'v_e^2

Para el cuerpo de masa $m$ :

E_{k,m} = \frac{1}{2}mv_e^2

Para el cuerpo de masa $2m$ :

E_{k,2m} = \frac{1}{2}(2m)v_e^2 = mv_e^2

Comparando ambas energías cinéticas, observamos que:

E_{k,2m} = 2 \left( \frac{1}{2}mv_e^2 \right) = 2E_{k,m}

La energía cinética necesaria es directamente proporcional a la masa del cuerpo. Por lo tanto, el cuerpo de masa $2m$ necesita el doble de energía cinética que el cuerpo de masa $m$ para escapar. La afirmación ii) es falsa.