T3: Geometría · Geometría métrica — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2025

Geometría métrica

Problema

2025 · Ordinaria · Reserva

Considera el plano $\pi \equiv 2x + y + 2z + 5 = 0$ .

a) Calcula el punto simétrico de

P(1, 0, 1)

respecto de

\pi

.b) Calcula los planos paralelos a

\pi

y que disten

2

unidades de

\pi

Punto simétricoPlanos paralelosDistancia entre planos

Simetría y Distancia entre Planos

a) Calcula el punto simétrico de

P(1, 0, 1)

respecto de

\pi

Para hallar el punto simétrico $P'$ de $P(1, 0, 1)$ respecto al plano $\pi \equiv 2x + y + 2z + 5 = 0$ , primero determinamos la recta $r$ perpendicular a $\pi$ que pasa por $P$ . El vector director de esta recta es el vector normal del plano, $\vec{n} = (2, 1, 2)$ .

r \equiv \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = t \\ z = 1 + 2t \end{cases}

Calculamos el punto de intersección $M$ (proyección ortogonal de $P$ sobre el plano) sustituyendo las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación del plano:

2(1 + 2t) + (t) + 2(1 + 2t) + 5 = 0 \Rightarrow 2 + 4t + t + 2 + 4t + 5 = 0 \Rightarrow 9t + 9 = 0 \Rightarrow t = -1

Sustituimos $t = -1$ en las ecuaciones de la recta para obtener $M$ :

M = (1 + 2(-1), -1, 1 + 2(-1)) = (-1, -1, -1)

Como $M$ es el punto medio del segmento $PP'$ , se cumple la relación $P' = 2M - P$ :

P' = 2(-1, -1, -1) - (1, 0, 1) = (-2, -2, -2) - (1, 0, 1) = (-3, -2, -3)

b) Calcula los planos paralelos a

\pi

y que disten

2

unidades de

\pi

Cualquier plano paralelo a $\pi$ tiene la forma $\pi' \equiv 2x + y + 2z + D = 0$ . La distancia entre dos planos paralelos de la forma $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ y $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ viene dada por la fórmula:

d(\pi, \pi') = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

Igualamos esta distancia a $2$ con los datos de nuestro plano ( $A=2, B=1, C=2$ y $D_1=5$ ):

2 = \frac{|D - 5|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} \Rightarrow 2 = \frac{|D - 5|}{3} \Rightarrow 6 = |D - 5|

Esto genera dos posibles ecuaciones dependiendo del valor absoluto:

D - 5 = 6 \Rightarrow D = 11 \quad \text{y} \quad D - 5 = -6 \Rightarrow D = -1

Por lo tanto, los dos planos paralelos que cumplen la condición son:

\pi_1 \equiv 2x + y + 2z + 11 = 0 \quad \text{y} \quad \pi_2 \equiv 2x + y + 2z - 1 = 0