Para estudiar la continuidad en $x=0$, necesitamos verificar tres condiciones:1. La función debe estar definida en $x=0$.

2. Los límites laterales deben existir y ser iguales.

3. El valor de la función en el punto debe ser igual a los límites laterales.Como $f(0) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$, la función $f(x)$ es continua en $x=0$.

Para estudiar la derivabilidad, primero calculamos la derivada de cada rama de la función:

Ahora, calculamos las derivadas laterales en $x=0$:

Dado que $f'(0^-) = f'(0^+) = 1$, la función $f(x)$ es derivable en $x=0$, y su derivada en este punto es $f'(0) = 1$.

La primera rama ($x^2 + x + 1$) está definida para todos los reales. La segunda rama ($\frac{1}{1 - x}$) está definida para $x \ne 1$. Por lo tanto, el dominio de la función es $D_f = (-\infty, 1) \cup (1, \infty)$.

Calculamos $f'(x)$:

Para $x < 0$: $f'(x) = 2x + 1$. Igualamos a cero para encontrar puntos críticos: $2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1/2$.Evaluamos $f'(x)$ en los intervalos $(-\infty, -1/2)$ y $(-1/2, 0)$:* En $(-\infty, -1/2)$, por ejemplo $x=-1$, $f'(-1) = 2(-1) + 1 = -1 < 0$. La función es decreciente.* En $(-1/2, 0)$, por ejemplo $x=-0.1$, $f'(-0.1) = 2(-0.1) + 1 = 0.8 > 0$. La función es creciente.En $x = -1/2$ hay un mínimo local. $f(-1/2) = (-1/2)^2 + (-1/2) + 1 = 1/4 - 1/2 + 1 = 3/4$.Para $x > 0$: $f'(x) = \frac{1}{(1 - x)^2}$.El denominador $(1 - x)^2$ es siempre positivo para $x \ne 1$. Por lo tanto, $f'(x) > 0$ en $(0, 1)$ y en $(1, \infty)$. La función es creciente en estos intervalos.Resumen de la monotonía:* $f(x)$ es decreciente en $(-\infty, -1/2)$.* $f(x)$ es creciente en $(-1/2, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$.* La función presenta un mínimo local en $x = -1/2$.

Calculamos $f''(x)$:Para $x < 0$: $f''(x) = (2x + 1)' = 2$.Como $f''(x) = 2 > 0$ para todo $x < 0$, la función es convexa en $(-\infty, 0)$.Para $x > 0$: $f'(x) = (1 - x)^{-2}$. Entonces, $f''(x) = -2(1 - x)^{-3}(-1) = \frac{2}{(1 - x)^3}$.Evaluamos el signo de $f''(x)$ en los intervalos $(0, 1)$ y $(1, \infty)$:* En $(0, 1)$, por ejemplo $x=0.5$, $1 - x = 0.5 > 0$. Entonces $(1 - x)^3 > 0$. Por lo tanto, $f''(x) = \frac{2}{\text{positivo}} > 0$. La función es convexa en $(0, 1)$.* En $(1, \infty)$, por ejemplo $x=2$, $1 - x = -1 < 0$. Entonces $(1 - x)^3 < 0$. Por lo tanto, $f''(x) = \frac{2}{\text{negativo}} < 0$. La función es cóncava en $(1, \infty)$.Resumen de la curvatura:* $f(x)$ es convexa en $(-\infty, 0) \cup (0, 1)$.* $f(x)$ es cóncava en $(1, \infty)$.* No hay puntos de inflexión, ya que en $x=0$ y $x=1$ la segunda derivada no cambia de signo en un punto donde la función sea continua y derivable, o la función no está definida.

Las asíntotas verticales se buscan en los puntos donde la función no está definida. La única posible asíntota vertical es en $x = 1$, ya que el denominador de la segunda rama se anula allí.

Como los límites laterales tienden a infinito, hay una asíntota vertical en $x = 1$.

Las asíntotas horizontales se buscan calculando el límite de la función cuando $x \to \pm \infty$.Cuando $x \to -\infty$, usamos la rama $x^2 + x + 1$:

No hay asíntota horizontal cuando $x \to -\infty$.Cuando $x \to +\infty$, usamos la rama $\frac{1}{1 - x}$:

Hay una asíntota horizontal en $y = 0$ cuando $x \to +\infty$.

Si existe una asíntota horizontal para $x \to +\infty$ ($y=0$), no puede haber una asíntota oblicua en esa dirección.Para $x \to -\infty$:

Como $m$ no es un valor finito, no hay asíntota oblicua cuando $x \to -\infty$.En resumen, las asíntotas de $f$ son: