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T2: Interacción electromagnética
Movimiento de cargas en campos E y B
Teoría
2019 · Extraordinaria · Reserva
2A-a
Examen

Un electrón atraviesa en línea recta una región en la que coexisten un campo eléctrico y un campo magnético uniformes.

a) Discuta la relación, ayudándose de esquemas, entre los vectores v\mathbf{v}, B\mathbf{B} y E\mathbf{E}, si: (i) El electrón mantiene fija su velocidad. (ii) El electrón sigue un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
Fuerza de LorentzCampo eléctricoCampo magnético
Electrón en región con campo eléctrico y magnético simultáneos

Para que el electrón se mueva en línea recta, la fuerza neta sobre él debe ser nula o estar dirigida a lo largo de su dirección de movimiento. La fuerza total sobre el electrón es la fuerza de Lorentz:

F⃗=q(E⃗+v⃗×B⃗)\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})

Para el electrón, q=−eq = -e (carga negativa), por lo que:

F⃗=−e(E⃗+v⃗×B⃗)\vec{F} = -e(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})
a) (i) Movimiento rectilíneo uniforme (velocidad constante): F⃗neta=0⃗\vec{F}_{neta} = \vec{0}

Si el electrón mantiene fija su velocidad, la aceleración es nula, por lo tanto la fuerza neta debe ser cero:

F⃗=−e(E⃗+v⃗×B⃗)=0⃗\vec{F} = -e(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}) = \vec{0}
⇒E⃗=−(v⃗×B⃗)=B⃗×v⃗\Rightarrow \vec{E} = -(\vec{v} \times \vec{B}) = \vec{B} \times \vec{v}

Esto significa que la fuerza eléctrica F⃗E=−eE⃗\vec{F}_E = -e\vec{E} y la fuerza magnética F⃗B=−e(v⃗×B⃗)\vec{F}_B = -e(\vec{v} \times \vec{B}) deben ser iguales y opuestas, cancelándose completamente.Condiciones necesarias sobre los vectores:

1) B⃗\vec{B} debe ser perpendicular a v⃗\vec{v} (para que la fuerza magnética sea no nula y perpendicular a v⃗\vec{v}).2) E⃗\vec{E} debe ser perpendicular tanto a v⃗\vec{v} como a B⃗\vec{B} (ya que v⃗×B⃗\vec{v} \times \vec{B} es perpendicular a ambos).3) Los tres vectores v⃗\vec{v}, B⃗\vec{B} y E⃗\vec{E} son mutuamente perpendiculares entre sí, formando un sistema de ejes ortogonales.

Tomando v⃗=v i^\vec{v} = v\,\hat{i} y B⃗=B k^\vec{B} = B\,\hat{k} (entrante en el plano), la fuerza magnética sobre el electrón es:

F⃗B=−e(v⃗×B⃗)=−e(v i^×B k^)=−evB(i^×k^)=−evB(−j^)=evB j^\vec{F}_B = -e(\vec{v} \times \vec{B}) = -e(v\,\hat{i} \times B\,\hat{k}) = -evB(\hat{i}\times\hat{k}) = -evB(-\hat{j}) = evB\,\hat{j}

Para que la fuerza eléctrica cancele la magnética: F⃗E=−eE⃗=−evB j^\vec{F}_E = -e\vec{E} = -evB\,\hat{j}, por tanto E⃗=E j^\vec{E} = E\,\hat{j} con E=vBE = vB. Así el campo eléctrico apunta en la dirección +j^+\hat{j} (hacia arriba).

B (entrante)⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗-vF

En el esquema: el electrón se mueve hacia la derecha (v⃗\vec{v}), B⃗\vec{B} es entrante (perpendicular a la pantalla), la fuerza magnética resultante apunta hacia arriba. El campo eléctrico E⃗\vec{E} apunta hacia arriba también, de modo que la fuerza eléctrica −eE⃗-e\vec{E} apunta hacia abajo, cancelando exactamente a la magnética. Condición de equilibrio: E=vBE = vB.

a) (ii) Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA): a⃗≠0⃗\vec{a} \neq \vec{0}, paralelo a v⃗\vec{v}

Para que el movimiento sea rectilíneo uniformemente acelerado, la fuerza neta debe ser no nula pero paralela (o antiparalela) a la velocidad v⃗\vec{v}. Esto implica que no debe haber componente de fuerza perpendicular a v⃗\vec{v}.La fuerza magnética F⃗B=−e(v⃗×B⃗)\vec{F}_B = -e(\vec{v}\times\vec{B}) es siempre perpendicular a v⃗\vec{v}. Para que no exista componente perpendicular a v⃗\vec{v} en la fuerza total, se deben cumplir una de estas dos situaciones:

Caso A: B⃗\vec{B} es paralelo a v⃗\vec{v} (o antiparalelo). En ese caso v⃗×B⃗=0⃗\vec{v} \times \vec{B} = \vec{0}, la fuerza magnética es nula, y la única fuerza es la eléctrica F⃗=−eE⃗\vec{F} = -e\vec{E}. Para MRUA, E⃗\vec{E} debe ser paralelo a v⃗\vec{v} (a lo largo de la dirección de movimiento).
B⃗∥v⃗,E⃗∥v⃗⇒F⃗=−eE⃗=ma v^\vec{B} \parallel \vec{v}, \quad \vec{E} \parallel \vec{v} \quad \Rightarrow \quad \vec{F} = -e\vec{E} = ma\,\hat{v}
Caso B: B⃗\vec{B} perpendicular a v⃗\vec{v}. Entonces la fuerza magnética es perpendicular a v⃗\vec{v}. Para que el movimiento sea rectilíneo, el campo eléctrico debe tener dos componentes: una componente perpendicular a v⃗\vec{v} que cancele exactamente la fuerza magnética, y una componente paralela a v⃗\vec{v} que produzca la aceleración.
E⃗=E⃗⊥+E⃗∥conE⃗⊥=−(v⃗×B⃗)yE⃗∥∥v⃗\vec{E} = \vec{E}_{\perp} + \vec{E}_{\parallel} \quad \text{con} \quad \vec{E}_{\perp} = -(\vec{v}\times\vec{B}) \quad \text{y} \quad \vec{E}_{\parallel} \parallel \vec{v}

En el Caso A, los tres vectores v⃗\vec{v}, B⃗\vec{B} y E⃗\vec{E} son todos paralelos entre sí. En el Caso B, B⃗\vec{B} y la componente de E⃗\vec{E} perpendicular a v⃗\vec{v} se relacionan como en el selector de velocidades, pero además hay una componente de E⃗\vec{E} a lo largo de v⃗\vec{v} que proporciona la aceleración constante.Resumen de condiciones para MRUA (Caso A, el más frecuente en problemas):

B⃗∥v⃗,E⃗∥v⃗,a=eEm=constante\vec{B} \parallel \vec{v}, \quad \vec{E} \parallel \vec{v}, \quad a = \frac{eE}{m} = \text{constante}