T2: Interacción electromagnética

Selector de velocidades

Problema

2017 · Extraordinaria · Suplente

2A-b

Un protón penetra en un campo eléctrico uniforme $\vec{E}$ , de $200 \text{ N} \cdot \text{C}^{-1}$ , con una velocidad $\vec{v}$ , de $10^6 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}$ , perpendicular al campo.

b) Calcule el campo magnético,

\vec{B}

, que habría que aplicar, superpuesto al eléctrico, para que la trayectoria del protón fuera rectilínea. Ayúdese de un esquema.

Campo eléctricoCampo magnético

b) Campo magnético necesario para trayectoria rectilínea

Para que la trayectoria del protón sea rectilínea, la fuerza eléctrica y la fuerza magnética deben ser iguales en módulo y opuestas en dirección (condición de selector de velocidades):

\vec{F}_E + \vec{F}_B = \vec{0}

q\vec{E} + q\vec{v} \times \vec{B} = \vec{0}

Para que las fuerzas se anulen, se requiere que en módulo:

qE = qvB \implies E = vB

Despejando el campo magnético:

B = \frac{E}{v} = \frac{200 \text{ N·C}^{-1}}{10^6 \text{ m·s}^{-1}} = 2 \times 10^{-4} \text{ T}

Para determinar la dirección y sentido de $\vec{B}$ , establecemos un sistema de referencia: el protón se mueve en la dirección $+x$ (hacia la derecha) y el campo eléctrico apunta en la dirección $+y$ (hacia arriba), de modo que la fuerza eléctrica sobre el protón (carga positiva) es $\vec{F}_E = qE\hat{j}$ , es decir, hacia arriba. Para compensarla, la fuerza magnética debe apuntar hacia abajo ( $-y$ ).Aplicando la regla de la mano derecha para $\vec{F}_B = q\vec{v} \times \vec{B}$ , con $\vec{v} = v\hat{i}$ y necesitando $\vec{F}_B$ en la dirección $-\hat{j}$ :

\vec{F}_B = q(\vec{v} \times \vec{B}) = q(v\hat{i} \times B\hat{k}) = qvB(\hat{i} \times \hat{k}) = qvB(-\hat{j}) \implies \vec{B} = B\hat{k}

Por lo tanto, $\vec{B}$ debe apuntar en la dirección $+z$ (saliente de la pantalla/hoja) para que la fuerza magnética sobre el protón sea hacia abajo y anule la fuerza eléctrica.

En el esquema: el protón se mueve hacia la derecha ( $\vec{v}$ ), el campo eléctrico $\vec{E}$ apunta hacia arriba (fuerza eléctrica $\uparrow$ ), el campo magnético $\vec{B}$ sale de la pantalla, generando una fuerza magnética hacia abajo ( $\downarrow$ ) que compensa exactamente a la eléctrica.Resultado final:

B = 2 \times 10^{-4} \text{ T}, \quad \vec{B} = 2 \times 10^{-4}\,\hat{k} \text{ T (saliente de la página)}