T6: Teoría de muestras · Intervalos de confianza para la media — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2020

Intervalos de confianza para la media

Problema

2020 · Extraordinaria · Reserva

La cantidad de café por taza que suministra una máquina de café sigue una distribución Normal con media desconocida y desviación típica $0.8 \text{ cm}^3$ . En una muestra de $45$ tazas suministradas por esa máquina, se ha medido un total de $5\,400 \text{ cm}^3$ de café.

a) Calcule el estimador puntual para la cantidad media de café por taza que suministra la máquina.b) Calcule un intervalo de confianza al

97 \ \%

para estimar la cantidad media de café por taza que suministra la máquina.c) Calcule, con el mismo nivel de confianza, el tamaño muestral mínimo que se ha de tomar para que, al estimar la cantidad media de café por taza, el error cometido sea inferior a

0.2 \text{ cm}^3

Distribución NormalMedia muestralIntervalo de confianza+1

Datos proporcionados por el problema:La cantidad de café por taza sigue una distribución Normal con media $\mu$ desconocida y desviación típica $\sigma = 0.8 \text{ cm}^3$ .Tamaño de la muestra: $n = 45$ tazas.Total de café en la muestra: $5400 \text{ cm}^3$ .

a) Calcule el estimador puntual para la cantidad media de café por taza que suministra la máquina.

El estimador puntual para la cantidad media de café por taza ( $\mu$ ) es la media muestral ( $\bar{x}$ ). Se calcula dividiendo el total de café medido entre el número de tazas de la muestra.

\bar{x} = \frac{\text{Total de café}}{\text{Número de tazas}} = \frac{5400 \text{ cm}^3}{45 \text{ tazas}}

\bar{x} = 120 \text{ cm}^3/\text{taza}

El estimador puntual para la cantidad media de café por taza es $120 \text{ cm}^3$ .

b) Calcule un intervalo de confianza al

97 \ \%

para estimar la cantidad media de café por taza que suministra la máquina.

Para un intervalo de confianza de la media con desviación típica poblacional conocida, usamos la fórmula:

\text{IC} = \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Donde: $\bar{x} = 120 \text{ cm}^3$ $\sigma = 0.8 \text{ cm}^3$ $n = 45$ Nivel de confianza $1 - \alpha = 0.97 \Rightarrow \alpha = 0.03 \Rightarrow \alpha/2 = 0.015$ .Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0.015 = 0.985$ .Consultando la tabla de la distribución Normal estándar o usando una calculadora, obtenemos $z_{0.015} \approx 2.17$ .Ahora, sustituimos los valores en la fórmula del intervalo de confianza:

\text{IC} = 120 \pm 2.17 \frac{0.8}{\sqrt{45}}

\text{IC} = 120 \pm 2.17 \frac{0.8}{6.708}

\text{IC} = 120 \pm 2.17 \times 0.11925

\text{IC} = 120 \pm 0.25868

\text{IC} = (119.74132, 120.25868)

El intervalo de confianza al $97 \ \%$ para la cantidad media de café por taza es aproximadamente $(119.74, 120.26) \text{ cm}^3$ .

c) Calcule, con el mismo nivel de confianza, el tamaño muestral mínimo que se ha de tomar para que, al estimar la cantidad media de café por taza, el error cometido sea inferior a

0.2 \text{ cm}^3

El error máximo permitido (E) para la estimación de la media es $E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ .Despejamos $n$ de la fórmula del error:

E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \Rightarrow \sqrt{n} = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{E} \Rightarrow n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \sigma}{E} \right)^2

Conocemos los siguientes valores: $z_{\alpha/2} = 2.17$ (calculado en el apartado b)) $\sigma = 0.8 \text{ cm}^3$ $E < 0.2 \text{ cm}^3$ (tomaremos $E = 0.2$ para el cálculo del mínimo)Sustituimos los valores en la fórmula para $n$ :

n = \left( \frac{2.17 \times 0.8}{0.2} \right)^2

n = \left( \frac{1.736}{0.2} \right)^2

n = (8.68)^2

n = 75.3424

Dado que el tamaño muestral debe ser un número entero y para asegurar que el error sea inferior a $0.2 \text{ cm}^3$ , debemos redondear al entero superior.

n = 76

El tamaño muestral mínimo que se ha de tomar es $76$ tazas.