T1: Interacción gravitatoria

Energía en órbitas

Problema

2019 · Extraordinaria · Reserva

1B-b

Una nave espacial se encuentra en una órbita circular a $2000 \text{ km}$ de altura sobre la superficie terrestre.

b) i) Calcule el periodo y la velocidad de la nave. ii) ¿Qué energía se necesita comunicar a la nave para que pase a orbitar a

5200 \text{ km}

de altura sobre la sobre la superficie de la Tierra si su masa es de

55000 \text{ kg}

Datos: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$ ; $M_T = 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}$ ; $R_T = 6370 \text{ km}$ .

Periodo orbitalVelocidad orbitalTransferencia de órbita

Primero, se convierten los datos a unidades del Sistema Internacional (SI):

R_T = 6370 \text{ km} = 6.37 \cdot 10^6 \text{ m}

h_1 = 2000 \text{ km} = 2.00 \cdot 10^6 \text{ m}

h_2 = 5200 \text{ km} = 5.20 \cdot 10^6 \text{ m}

m = 55000 \text{ kg}

Se calculan los radios de las órbitas sumando el radio terrestre a las alturas sobre la superficie:

r_1 = R_T + h_1 = 6.37 \cdot 10^6 \text{ m} + 2.00 \cdot 10^6 \text{ m} = 8.37 \cdot 10^6 \text{ m}

r_2 = R_T + h_2 = 6.37 \cdot 10^6 \text{ m} + 5.20 \cdot 10^6 \text{ m} = 11.57 \cdot 10^6 \text{ m}

b) i) Calcule el periodo y la velocidad de la nave.

Para una órbita circular, la fuerza gravitatoria actúa como fuerza centrípeta. La velocidad orbital ( $v$ ) se obtiene igualando ambas fuerzas:

F_g = F_c \Rightarrow G \frac{M_T m}{r_1^2} = \frac{m v_1^2}{r_1}

v_1 = \sqrt{\frac{G M_T}{r_1}}

Sustituyendo los valores:

v_1 = \sqrt{\frac{(6.67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \cdot (5.98 \cdot 10^{24} \text{ kg})}{8.37 \cdot 10^6 \text{ m}}}

v_1 = 6903.20 \text{ m/s}

El periodo orbital ( $T$ ) se relaciona con la velocidad y el radio mediante la siguiente expresión:

T_1 = \frac{2 \pi r_1}{v_1}

Sustituyendo los valores:

T_1 = \frac{2 \pi (8.37 \cdot 10^6 \text{ m})}{6903.20 \text{ m/s}}

T_1 = 7621.92 \text{ s} \approx 127.03 \text{ min}

b) ii) ¿Qué energía se necesita comunicar a la nave para que pase a orbitar a

5200 \text{ km}

de altura sobre la superficie de la Tierra si su masa es de

55000 \text{ kg}

La energía total de una nave en órbita circular es la suma de su energía cinética y potencial gravitatoria, y se puede expresar como:

E = E_k + E_p = \frac{1}{2} m v^2 - G \frac{M_T m}{r}

Sustituyendo la expresión de la velocidad orbital $v = \sqrt{\frac{G M_T}{r}}$ en la energía cinética:

E_k = \frac{1}{2} m \left(\frac{G M_T}{r}\right) = \frac{G M_T m}{2r}

Entonces, la energía total es:

E = \frac{G M_T m}{2r} - G \frac{M_T m}{r} = -\frac{G M_T m}{2r}

La energía inicial en la órbita de $r_1$ es:

E_1 = -\frac{(6.67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \cdot (5.98 \cdot 10^{24} \text{ kg}) \cdot (55000 \text{ kg})}{2 \cdot (8.37 \cdot 10^6 \text{ m})}

E_1 = -1.310 \cdot 10^{12} \text{ J}

La energía final en la órbita de $r_2$ es:

E_2 = -\frac{(6.67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \cdot (5.98 \cdot 10^{24} \text{ kg}) \cdot (55000 \text{ kg})}{2 \cdot (11.57 \cdot 10^6 \text{ m})}

E_2 = -9.480 \cdot 10^{11} \text{ J}

La energía necesaria para cambiar de órbita es la diferencia entre la energía final y la energía inicial:

\Delta E = E_2 - E_1

\Delta E = (-9.480 \cdot 10^{11} \text{ J}) - (-1.310 \cdot 10^{12} \text{ J})

\Delta E = 3.625 \cdot 10^{11} \text{ J}