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T2: Interacción electromagnética
Magnetismo
Problema
2022 · Extraordinaria · Suplente
B2-b
Examen
b) Un conductor rectilíneo muy largo está situado en el eje OZOZ y está recorrido por una corriente I=2,5 AI=2,5 \text{ A} en sentido positivo del mismo. Responda a las siguientes cuestiones apoyándose en esquemas para completar los razonamientos. i) Determine la fuerza (vector) que actúa sobre una carga q=3⋅10−6 Cq=3 \cdot 10^{-6} \text{ C}, que se encuentra en el eje OXOX en el punto x=0,05 mx=0,05 \text{ m} y tiene una velocidad de módulo 5⋅106 m⋅s−15 \cdot 10^6 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} en sentido positivo del eje OXOX. ii) Un segundo conductor idéntico al anterior se dispone paralelamente al primero y corta el eje OXOX en x=0,15 mx=0,15 \text{ m}. Calcule la intensidad que debe recorrer este segundo conductor (indicando su sentido) para que la carga no sufra fuerza.

Dato: μ0=4π⋅10−7 T⋅m⋅A−1\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1}

campo magnéticofuerza magnéticaconductor rectilíneo
b) i) Determine la fuerza (vector) que actúa sobre una carga q=3⋅10−6 Cq=3 \cdot 10^{-6} \text{ C}, que se encuentra en el eje OXOX en el punto x=0,05 mx=0,05 \text{ m} y tiene una velocidad de módulo 5⋅106 m⋅s−15 \cdot 10^6 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} en sentido positivo del eje OXOX.

Primero, calculamos el campo magnético B⃗1\vec{B}_1 generado por el conductor rectilíneo muy largo situado en el eje OZOZ, recorrido por una corriente I1=2,5 AI_1=2,5 \text{ A} en sentido positivo del eje OZOZ (+k^+\hat{k}). El punto de interés está en el eje OXOX en x=0,05 mx=0,05 \text{ m}, por lo que la distancia r1r_1 al conductor es 0,05 m0,05 \text{ m}.

B1=μ0I12πr1B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi r_1}
B1=(4π⋅10−7 T⋅m⋅A−1)(2,5 A)2π(0,05 m)=2⋅10−7⋅2,50,05 T=1⋅10−5 TB_1 = \frac{(4\pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1}) (2,5 \text{ A})}{2\pi (0,05 \text{ m})} = \frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 2,5}{0,05} \text{ T} = 1 \cdot 10^{-5} \text{ T}

Utilizando la regla de la mano derecha, para una corriente en el sentido +k^+\hat{k} y un punto en el eje OXOX positivo, el campo magnético B⃗1\vec{B}_1 apunta en la dirección +j^+\hat{j} (eje OYOY positivo).

B⃗1=1⋅10−5j^ T\vec{B}_1 = 1 \cdot 10^{-5} \hat{j} \text{ T}

La carga q=3⋅10−6 Cq = 3 \cdot 10^{-6} \text{ C} se encuentra en este punto y tiene una velocidad v⃗=5⋅106i^ m⋅s−1\vec{v} = 5 \cdot 10^6 \hat{i} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}. La fuerza magnética sobre la carga se calcula mediante la Ley de Lorentz:

F⃗=q(v⃗×B⃗1)\vec{F} = q (\vec{v} \times \vec{B}_1)
F⃗=(3⋅10−6 C)⋅(5⋅106i^ m⋅s−1×1⋅10−5j^ T)\vec{F} = (3 \cdot 10^{-6} \text{ C}) \cdot (5 \cdot 10^6 \hat{i} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} \times 1 \cdot 10^{-5} \hat{j} \text{ T})
F⃗=(3⋅10−6⋅5⋅106⋅1⋅10−5)(i^×j^) N\vec{F} = (3 \cdot 10^{-6} \cdot 5 \cdot 10^6 \cdot 1 \cdot 10^{-5}) (\hat{i} \times \hat{j}) \text{ N}
F⃗=(15⋅10−5)k^ N\vec{F} = (15 \cdot 10^{-5}) \hat{k} \text{ N}
F⃗=1,5⋅10−4k^ N\vec{F} = 1,5 \cdot 10^{-4} \hat{k} \text{ N}
b) ii) Un segundo conductor idéntico al anterior se dispone paralelamente al primero y corta el eje OXOX en x=0,15 mx=0,15 \text{ m}. Calcule la intensidad que debe recorrer este segundo conductor (indicando su sentido) para que la carga no sufra fuerza.

Para que la carga no sufra fuerza, la fuerza magnética total sobre ella debe ser nula. Esto implica que el campo magnético total en el punto P(0,05,0,0)P(0,05, 0, 0) debe ser cero:

B⃗total=B⃗1+B⃗2=0⃗\vec{B}_{total} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 = \vec{0}

Por lo tanto, el campo magnético B⃗2\vec{B}_2 generado por el segundo conductor debe ser igual en magnitud y opuesto en dirección a B⃗1\vec{B}_1:

B⃗2=−B⃗1=−1⋅10−5j^ T\vec{B}_2 = -\vec{B}_1 = -1 \cdot 10^{-5} \hat{j} \text{ T}

El segundo conductor está situado en x=0,15 mx=0,15 \text{ m} y es paralelo al eje OZOZ. El punto de interés PP está en x=0,05 mx=0,05 \text{ m}. La distancia r2r_2 desde el segundo conductor hasta el punto PP es:

r2=∣0,05 m−0,15 m∣=0,10 mr_2 = |0,05 \text{ m} - 0,15 \text{ m}| = 0,10 \text{ m}

Para que B⃗2\vec{B}_2 apunte en la dirección −j^-\hat{j} en el punto P(0,05,0,0)P(0,05,0,0) (que está a la izquierda del segundo conductor, xpunto<xconductorx_{punto} < x_{conductor}), la corriente I2I_2 en el segundo conductor debe circular en el sentido positivo del eje OZOZ (+k^+\hat{k}), según la regla de la mano derecha.Ahora, calculamos la magnitud de I2I_2 igualando las magnitudes de los campos magnéticos:

B2=μ0I22πr2=B1B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi r_2} = B_1
μ0I22πr2=μ0I12πr1\frac{\mu_0 I_2}{2\pi r_2} = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi r_1}
I2r2=I1r1\frac{I_2}{r_2} = \frac{I_1}{r_1}
I2=I1r2r1I_2 = I_1 \frac{r_2}{r_1}
I2=(2,5 A)0,10 m0,05 m=(2,5 A)⋅2=5,0 AI_2 = (2,5 \text{ A}) \frac{0,10 \text{ m}}{0,05 \text{ m}} = (2,5 \text{ A}) \cdot 2 = 5,0 \text{ A}

Por lo tanto, la intensidad que debe recorrer el segundo conductor es 5,0 A5,0 \text{ A} en el sentido positivo del eje OZOZ.