Corte con el eje Y: Se evalúa la función en $x=0$.

El punto de corte con el eje Y es $(0,0)$.Corte con el eje X: Se iguala la función a cero para encontrar las raíces.

Las raíces son $x=0$, $x=1$ y $x=2$. Los puntos de corte con el eje X son $(0,0)$, $(1,0)$ y $(2,0)$.Intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos: Se calcula la primera derivada y se iguala a cero para encontrar los puntos críticos.

Se resuelve la ecuación cuadrática:

Los puntos críticos son $x_1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.42$ y $x_2 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 1.58$. Se analizan los signos de $f'(x)$ en los intervalos determinados por estos puntos.Para $x < 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ (ej. $x=0$): $f'(0) = 2 > 0 \Rightarrow$ la función es creciente.Para $1 - \frac{\sqrt{3}}{3} < x < 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ (ej. $x=1$): $f'(1) = 3 - 6 + 2 = -1 < 0 \Rightarrow$ la función es decreciente.Para $x > 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ (ej. $x=2$): $f'(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 2 = 12 - 12 + 2 = 2 > 0 \Rightarrow$ la función es creciente.Intervalos de crecimiento: $(-\infty, 1 - \frac{\sqrt{3}}{3})$ y $(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$.Intervalo de decrecimiento: $(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}, 1 + \frac{\sqrt{3}}{3})$.Extremos relativos: \\ Máximo relativo en $x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$.

El máximo relativo es $(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{2\sqrt{3}}{9})$.Mínimo relativo en $x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$.

El mínimo relativo es $(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{2\sqrt{3}}{9})$.Curvatura: Se calcula la segunda derivada y se iguala a cero para encontrar posibles puntos de inflexión.

Se analiza el signo de $f''(x)$ en los intervalos determinados por $x=1$.Para $x < 1$ (ej. $x=0$): $f''(0) = -6 < 0 \Rightarrow$ la función es cóncava hacia abajo (convexa).Para $x > 1$ (ej. $x=2$): $f''(2) = 6(2) - 6 = 6 > 0 \Rightarrow$ la función es cóncava hacia arriba (cóncava).Punto de inflexión en $x=1$.

El punto de inflexión es $(1,0)$.

Para representar gráficamente la función, se utilizan los puntos de corte con los ejes, los extremos relativos y el punto de inflexión calculados en el apartado anterior. \\ Los puntos clave son: \\ - Cortes con los ejes: $(0,0)$, $(1,0)$, $(2,0)$ \\ - Máximo relativo: $(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{2\sqrt{3}}{9}) \approx (0.42, 0.38)$ \\ - Mínimo relativo: $(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{2\sqrt{3}}{9}) \approx (1.58, -0.38)$ \\ - Punto de inflexión: $(1,0)$ \\ La función crece hasta el máximo, decrece hasta el mínimo y vuelve a crecer. La concavidad cambia en el punto de inflexión.

El recinto acotado está limitado por la función $f(x) = x(x-1)(x-2)$ y el eje de abscisas (y=0). Los puntos de corte con el eje X son $x=0$, $x=1$ y $x=2$. Esto divide el área en dos regiones, una entre $x=0$ y $x=1$, y otra entre $x=1$ y $x=2$.Se analiza el signo de $f(x)$ en cada intervalo: \\ - En $(0,1)$, por ejemplo, para $x=0.5$: $f(0.5) = 0.5(0.5-1)(0.5-2) = 0.5(-0.5)(-1.5) = 0.375 > 0$. \\ - En $(1,2)$, por ejemplo, para $x=1.5$: $f(1.5) = 1.5(1.5-1)(1.5-2) = 1.5(0.5)(-0.5) = -0.375 < 0$.El área total $A$ se calcula como la suma de las integrales de los valores absolutos en cada intervalo.

Primero, se encuentra la primitiva de $f(x)$:

Cálculo de la primera integral:

Cálculo de la segunda integral:

Finalmente, se suman los valores absolutos de las integrales.

El área del recinto acotado es $\frac{1}{2}$ unidades cuadradas.