Para que la función $f(x)$ sea continua en todo su dominio, debe serlo especialmente en el punto de salto $x = 0$. Esto implica que deben existir y ser iguales el límite por la izquierda, el límite por la derecha y el valor de la función en dicho punto:

Calculamos primero el valor de la función y el límite por la derecha a partir de la expresión para $x \geq 0$:

Ahora analizamos el límite por la izquierda utilizando la expresión para $x < 0$:

Al evaluar en $x = 0$, el denominador es $0$. Para que el límite pueda ser un número real (requisito de continuidad), el numerador también debe tender a $0$ para evitar una asíntota vertical. Evaluando el numerador:

Como el numerador es $0$ independientemente del valor de $a$, aplicamos la regla de L'Hôpital para resolver la indeterminación $\frac{0}{0}$:

Para que este nuevo límite no sea infinito, el numerador debe ser $0$ cuando $x \to 0$, ya que el denominador tiende a $0$:

Sustituimos $a = 1$ en el límite y seguimos resolviendo la indeterminación $\frac{0}{0}$ simplificando la expresión:

Aplicamos L'Hôpital una última vez o utilizamos el límite notable $\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(x)}{x} = 1$:

Finalmente, igualamos el límite por la izquierda con el valor obtenido para el límite por la derecha para hallar $b$:

Por lo tanto, los valores de las constantes son $a = 1$ y $b = \frac{2}{3}$.