T1: Interacción gravitatoria

Campo gravitatorio

Problema

2022 · Extraordinaria · Reserva

A2-b

b) Un satélite tarda

4

horas en dar una vuelta completa alrededor de un planeta con una velocidad orbital de

5000 \text{ m s}^{-1}

. Calcule razonadamente: i) el radio de la órbita y la masa del planeta; ii) la velocidad de escape desde la órbita.

Dato: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}$

Velocidad orbitalMasa planetariaVelocidad de escape

b) i) Cálculo del radio de la órbita y la masa del planeta.

Primero, convertimos el período orbital de horas a segundos:

T = 4 \text{ h} \cdot \left( \frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ h}} \right) = 14400 \text{ s}

El radio de la órbita, $R$ , se puede calcular a partir de la velocidad orbital $v$ y el período $T$ utilizando la relación:

v = \frac{2 \pi R}{T}

Despejando $R$ y sustituyendo los valores:

R = \frac{vT}{2\pi} = \frac{(5000 \text{ m s}^{-1})(14400 \text{ s})}{2\pi} = \frac{7.2 \cdot 10^7 \text{ m}}{2\pi} \approx 1,1459 \cdot 10^7 \text{ m}

Ahora, para calcular la masa del planeta, $M_P$ , utilizamos la expresión de la velocidad orbital, que se obtiene igualando la fuerza gravitatoria con la fuerza centrípeta:

\frac{G M_P m}{R^2} = \frac{m v^2}{R} \Rightarrow v^2 = \frac{G M_P}{R}

Despejando $M_P$ :

M_P = \frac{v^2 R}{G}

Sustituyendo los valores conocidos:

M_P = \frac{(5000 \text{ m s}^{-1})^2 (1,1459 \cdot 10^7 \text{ m})}{6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}} = \frac{(2,5 \cdot 10^7 \text{ m}^2 \text{ s}^{-2}) (1,1459 \cdot 10^7 \text{ m})}{6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}}

M_P = \frac{2,86475 \cdot 10^{14}}{6,67 \cdot 10^{-11}} \text{ kg} \approx 4,295 \cdot 10^{24} \text{ kg}

b) ii) Cálculo de la velocidad de escape desde la órbita.

La velocidad de escape, $v_{esc}$ , desde una órbita a una distancia $R$ del centro del planeta se define como la velocidad mínima necesaria para que un objeto escape del campo gravitatorio del planeta. Su expresión es:

v_{esc} = \sqrt{\frac{2 G M_P}{R}}

Podemos observar que la velocidad de escape está relacionada con la velocidad orbital $v = \sqrt{\frac{G M_P}{R}}$ de la siguiente manera:

v_{esc} = \sqrt{2 \cdot \left( \frac{G M_P}{R} \right)} = \sqrt{2 v^2} = v\sqrt{2}

Sustituyendo la velocidad orbital dada:

v_{esc} = (5000 \text{ m s}^{-1}) \sqrt{2} \approx 7071,07 \text{ m s}^{-1}