Para representar la región factible, primero transformamos las inecuaciones en igualdades para obtener las rectas que delimitan el recinto:

Calculamos los puntos de intersección para hallar los vértices de la región:$V_1 = r_1 \cap r_2$: Resolviendo el sistema $\{x + 2y = 13, x - y = 4\}$ restando las ecuaciones obtenemos $3y = 9 \implies y = 3$. Sustituyendo, $x - 3 = 4 \implies x = 7$. Por tanto, $V_1 = (7, 3)$.$V_2 = r_2 \cap r_4$: Resolviendo el sistema $\{x - y = 4, x + y = 5\}$ sumando las ecuaciones obtenemos $2x = 9 \implies x = 4.5$. Sustituyendo, $4.5 + y = 5 \implies y = 0.5$. Por tanto, $V_2 = (4.5, 0.5)$.$V_3 = r_4 \cap r_3$: Resolviendo el sistema $\{x + y = 5, x - 2y = -7\}$ restando las ecuaciones obtenemos $3y = 12 \implies y = 4$. Sustituyendo, $x + 4 = 5 \implies x = 1$. Por tanto, $V_3 = (1, 4)$.$V_4 = r_3 \cap r_1$: Resolviendo el sistema $\{x - 2y = -7, x + 2y = 13\}$ sumando las ecuaciones obtenemos $2x = 6 \implies x = 3$. Sustituyendo, $3 + 2y = 13 \implies 2y = 10 \implies y = 5$. Por tanto, $V_4 = (3, 5)$.

Evaluamos la función objetivo $F(x, y) = x + y$ en cada uno de los vértices hallados:$F(V_1) = F(7, 3) = 7 + 3 = 10$ $F(V_2) = F(4.5, 0.5) = 4.5 + 0.5 = 5$ $F(V_3) = F(1, 4) = 1 + 4 = 5$ $F(V_4) = F(3, 5) = 3 + 5 = 8$

El valor máximo de la función es 10 y se alcanza en el punto $V_1(7, 3)$. El valor mínimo es 5 y, dado que se alcanza en los vértices $V_2(4.5, 0.5)$ y $V_3(1, 4)$, se alcanza en todos los puntos pertenecientes al segmento que une ambos vértices (contenido en la recta $x + y = 5$).