Para que la función $f(x)$ sea continua en $x=0$, se debe cumplir que $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$.Tenemos $f(0) = \mu$. Por lo tanto, debemos calcular el límite:

Al sustituir $x=0$, obtenemos la indeterminación $\frac{0}{0}$. Aplicamos la regla de L'Hôpital:

Al sustituir $x=0$ nuevamente, obtenemos $\frac{\lambda e^0 - e^0 - 1}{2 \cdot 0} = \frac{\lambda - 1 - 1}{0} = \frac{\lambda - 2}{0}$. Para que el límite exista y sea finito, el numerador debe ser cero, por lo tanto:

Ahora, con $\lambda = 2$, volvemos a aplicar la regla de L'Hôpital para calcular el límite de $\mu$:

Sigue siendo una indeterminación $\frac{0}{0}$, así que aplicamos L'Hôpital de nuevo:

Sustituyendo $x=0$:

Por lo tanto, los valores son $\lambda = 2$ y $\mu = \frac{3}{2}$.

La ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en $x=1$ es $y - f(1) = f'(1)(x - 1)$.Primero, calculamos $f(1)$. Como $x=1 \neq 0$, usamos la expresión para $x \neq 0$ con $\lambda=2$:

Ahora, calculamos la derivada de $f(x)$ para $x \neq 0$:

Usamos la regla del cociente $(u/v)' = (u'v - uv')/v^2$, donde $u = e^{2x} - e^x - x$ y $v = x^2$.

Simplificamos la expresión para $f'(x)$ (podemos dividir por $x$ en numerador y denominador):

Ahora, evaluamos $f'(1)$:

Finalmente, escribimos la ecuación de la recta tangente: