T1: Interacción gravitatoria

Energía mecánica y rozamiento

Problema

2018 · Extraordinaria · Reserva

1B-b

b) Un bloque de

1 \text{ kg}

de masa asciende por un plano inclinado que forma un ángulo de

30^{\circ}

con la horizontal. La velocidad inicial del bloque es de

10 \text{ m s}^{-1}

y el coeficiente de rozamiento entre las superficies del bloque y el plano inclinado es

0,3

. Determine mediante consideraciones energéticas: (i) La altura máxima a la que llega el bloque; (ii) el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento.

Dato: $g = 9,8 \text{ m s}^{-2}$

plano inclinadotrabajo de rozamientoaltura máxima+1

Se aplica el teorema trabajo-energía (o principio de conservación de la energía con rozamiento). Cuando el bloque asciende hasta la altura máxima $h$ , su energía cinética final es cero.El trabajo neto realizado sobre el bloque es igual al cambio en energía cinética:

W_{total} = \Delta E_c = E_{c,f} - E_{c,i}

Los trabajos que intervienen son el del peso y el de la fuerza de rozamiento:

W_{peso} + W_{fr} = 0 - \frac{1}{2}mv_0^2

El trabajo del peso al subir una altura $h$ es negativo (fuerza opuesta al desplazamiento vertical):

W_{peso} = -mgh

La distancia recorrida a lo largo del plano es $d = h/\sin 30°$ . La fuerza de rozamiento es $f_r = \mu \cdot N = \mu \cdot mg\cos 30°$ , y su trabajo es negativo (opuesto al movimiento):

W_{fr} = -f_r \cdot d = -\mu \cdot mg\cos 30° \cdot \frac{h}{\sin 30°} = -\mu \cdot mg \cdot h \cdot \frac{\cos 30°}{\sin 30°}

Sustituyendo en el teorema trabajo-energía:

-mgh - \mu \cdot mg \cdot h \cdot \frac{\cos 30°}{\sin 30°} = -\frac{1}{2}mv_0^2

Dividiendo entre $m$ y despejando $h$ :

h\left(g + \mu g \frac{\cos 30°}{\sin 30°}\right) = \frac{1}{2}v_0^2

h = \frac{\frac{1}{2}v_0^2}{g\left(1 + \mu \frac{\cos 30°}{\sin 30°}\right)}

Calculando el denominador con $\mu = 0{,}3$ , $\cos 30° = 0{,}866$ , $\sin 30° = 0{,}5$ :

\frac{\cos 30°}{\sin 30°} = \cot 30° = \frac{0{,}866}{0{,}5} = 1{,}732

1 + 0{,}3 \times 1{,}732 = 1 + 0{,}5196 = 1{,}5196

h = \frac{\frac{1}{2} \times (10)^2}{9{,}8 \times 1{,}5196} = \frac{50}{14{,}892} \approx 3{,}36 \text{ m}

i) La altura máxima a la que llega el bloque es

h \approx 3{,}36 \text{ m}

Para el trabajo de la fuerza de rozamiento, usamos la expresión ya calculada. La distancia recorrida a lo largo del plano es:

d = \frac{h}{\sin 30°} = \frac{3{,}36}{0{,}5} = 6{,}72 \text{ m}

f_r = \mu \cdot mg\cos 30° = 0{,}3 \times 1 \times 9{,}8 \times 0{,}866 = 2{,}546 \text{ N}

W_{fr} = -f_r \cdot d = -2{,}546 \times 6{,}72 \approx -17{,}11 \text{ J}

Comprobación con el teorema trabajo-energía:

W_{total} = W_{peso} + W_{fr} = -mgh + W_{fr} = -1\times9{,}8\times3{,}36 + (-17{,}11) = -32{,}93 - 17{,}11 \approx -50 \text{ J} = -\frac{1}{2}mv_0^2 \checkmark

ii) El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento es

W_{fr} \approx -17{,}1 \text{ J}

(trabajo negativo, pues la fricción se opone al movimiento).