T4: Funciones · Análisis de funciones — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2022

Análisis de funciones

Problema

2022 · Ordinaria · Suplente

EJERCICIO 2

Considera la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \ln (x^2 + 1)$ (donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de

f

.b) Determina los intervalos de convexidad y de concavidad de

f

y los puntos de inflexión de su gráfica.

MonotoníaCurvaturaPuntos de inflexión

Cálculo de intervalos de crecimiento, decrecimiento, convexidad, concavidad y puntos de inflexión

La función dada es $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ . Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los de convexidad y concavidad, necesitamos calcular la primera y segunda derivada de la función, respectivamente.

a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de

f

Primero, calculamos la primera derivada de $f(x)$ :

f'(x) = \frac{d}{dx} (\ln(x^2 + 1)) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (2x) = \frac{2x}{x^2 + 1}

Para encontrar los puntos críticos, igualamos la primera derivada a cero:

f'(x) = 0 \implies \frac{2x}{x^2 + 1} = 0 \implies 2x = 0 \implies x = 0

El denominador $x^2 + 1$ es siempre positivo para cualquier $x \in \mathbb{R}$ . Por lo tanto, el signo de $f'(x)$ depende únicamente del numerador $2x$ . Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos determinados por $x=0$ :Si $x < 0$ , por ejemplo, $x = -1$ , entonces $f'(-1) = \frac{2(-1)}{(-1)^2 + 1} = \frac{-2}{2} = -1 < 0$ . Por lo tanto, $f$ es decreciente en $(-\infty, 0)$ .Si $x > 0$ , por ejemplo, $x = 1$ , entonces $f'(1) = \frac{2(1)}{(1)^2 + 1} = \frac{2}{2} = 1 > 0$ . Por lo tanto, $f$ es creciente en $(0, +\infty)$ .Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son:\text{Intervalo de decrecimiento: } (-\infty, 0)\text{Intervalo de crecimiento: } (0, +\infty)

b) Determina los intervalos de convexidad y de concavidad de

f

y los puntos de inflexión de su gráfica.

Para determinar la convexidad y concavidad, calculamos la segunda derivada de $f(x)$ a partir de $f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$ usando la regla del cociente:

f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{2x}{x^2 + 1} \right) = \frac{2(x^2 + 1) - 2x(2x)}{(x^2 + 1)^2}

f''(x) = \frac{2x^2 + 2 - 4x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2}

Para encontrar los posibles puntos de inflexión, igualamos la segunda derivada a cero:

f''(x) = 0 \implies \frac{2 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = 0 \implies 2 - 2x^2 = 0

2x^2 = 2 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1

El denominador $(x^2 + 1)^2$ es siempre positivo. Por lo tanto, el signo de $f''(x)$ depende del numerador $2 - 2x^2 = 2(1 - x^2) = 2(1 - x)(1 + x)$ . Analizamos el signo de $f''(x)$ en los intervalos determinados por $x=-1$ y $x=1$ :Si $x < -1$ , por ejemplo, $x = -2$ , entonces $f''(-2) = \frac{2 - 2(-2)^2}{((-2)^2 + 1)^2} = \frac{2 - 8}{(4 + 1)^2} = \frac{-6}{25} < 0$ . Por lo tanto, $f$ es cóncava en $(-\infty, -1)$ .Si $-1 < x < 1$ , por ejemplo, $x = 0$ , entonces $f''(0) = \frac{2 - 2(0)^2}{((0)^2 + 1)^2} = \frac{2}{1} = 2 > 0$ . Por lo tanto, $f$ es convexa en $(-1, 1)$ .Si $x > 1$ , por ejemplo, $x = 2$ , entonces $f''(2) = \frac{2 - 2(2)^2}{((2)^2 + 1)^2} = \frac{2 - 8}{(4 + 1)^2} = \frac{-6}{25} < 0$ . Por lo tanto, $f$ es cóncava en $(1, +\infty)$ .Los intervalos de convexidad y concavidad son:\text{Intervalos de concavidad: } (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)\text{Intervalo de convexidad: } (-1, 1)Los puntos de inflexión ocurren donde la concavidad cambia, es decir, en $x = -1$ y $x = 1$ . Calculamos los valores de la función en estos puntos:

f(-1) = \ln((-1)^2 + 1) = \ln(1 + 1) = \ln 2

f(1) = \ln((1)^2 + 1) = \ln(1 + 1) = \ln 2

Los puntos de inflexión de la gráfica de $f$ son:Punto de inflexión 1: $(-1, \ln 2)$ Punto de inflexión 2: $(1, \ln 2)$