T5: Probabilidad · Operaciones con sucesos — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2021

Operaciones con sucesos

Problema

2021 · Ordinaria · Titular

De las compras realizadas en el último período de rebajas del pasado año, el $55 \%$ se dedicaron a productos electrónicos, el $72 \ \%$ se hicieron a través de Internet y, de las compras que se hicieron por Internet, el $64 \ \%$ fueron de productos electrónicos. Se elige una compra al azar.

a) Calcule la probabilidad de que haya sido de productos electrónicos y se haya realizado por Internet.b) Calcule la probabilidad de que la compra se haya realizado por Internet o que se hayan comprado productos electrónicos.c) Calcule la probabilidad de que sabiendo que no se compraron productos electrónicos, la compra no se hiciera a través de Internet.

ProbabilidadSucesosIntersección+1

Definimos los siguientes sucesos: $E$ : La compra es de productos electrónicos. $I$ : La compra se realiza a través de Internet.A partir de los datos proporcionados, tenemos las siguientes probabilidades:

P(E) = 0.55

P(I) = 0.72

P(E|I) = 0.64

a) Calcule la probabilidad de que haya sido de productos electrónicos y se haya realizado por Internet.

Se nos pide calcular la probabilidad de la intersección de los sucesos $E$ e $I$ , es decir, $P(E \cap I)$ . Podemos usar la fórmula de la probabilidad condicionada:

P(E|I) = \frac{P(E \cap I)}{P(I)}

Despejando $P(E \cap I)$ :

P(E \cap I) = P(E|I) \cdot P(I)

P(E \cap I) = 0.64 \cdot 0.72

P(E \cap I) = 0.4608

b) Calcule la probabilidad de que la compra se haya realizado por Internet o que se hayan comprado productos electrónicos.

Se nos pide calcular la probabilidad de la unión de los sucesos $I$ o $E$ , es decir, $P(I \cup E)$ . Utilizamos la fórmula de la unión de sucesos:

P(I \cup E) = P(I) + P(E) - P(I \cap E)

Sustituyendo los valores conocidos, incluido el resultado del apartado a):

P(I \cup E) = 0.72 + 0.55 - 0.4608

P(I \cup E) = 1.27 - 0.4608

P(I \cup E) = 0.8092

c) Calcule la probabilidad de que sabiendo que no se compraron productos electrónicos, la compra no se hiciera a través de Internet.

Se nos pide calcular la probabilidad condicionada $P(I^c | E^c)$ , donde $E^c$ es el suceso complementario de $E$ (no se compraron productos electrónicos) e $I^c$ es el suceso complementario de $I$ (la compra no se hizo a través de Internet). La fórmula es:

P(I^c | E^c) = \frac{P(I^c \cap E^c)}{P(E^c)}

Primero, calculamos $P(E^c)$ :

P(E^c) = 1 - P(E) = 1 - 0.55 = 0.45

Luego, usamos las Leyes de De Morgan para calcular $P(I^c \cap E^c)$ :

P(I^c \cap E^c) = P((I \cup E)^c) = 1 - P(I \cup E)

Utilizando el resultado del apartado b):

P(I^c \cap E^c) = 1 - 0.8092 = 0.1908

Finalmente, calculamos $P(I^c | E^c)$ :

P(I^c | E^c) = \frac{0.1908}{0.45}

P(I^c | E^c) \approx 0.424