T5: Probabilidad · Probabilidad Total y Teorema de Bayes — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2022

Probabilidad Total y Teorema de Bayes

Problema

2022 · Extraordinaria · Titular

EJERCICIO 5

En una determinada región hay tres universidades $A, B$ y $C$ . De los estudiantes que terminaron sus estudios el año pasado, el $60\%$ procedían de la universidad $A$ , el $30\%$ de la universidad $B$ y el resto de $C$ . Además, se conoce que la probabilidad de que un estudiante de la universidad $A$ no encuentre trabajo en su región es $0.4$ y para un estudiante de $B$ es $0.5$ .

a) Si la probabilidad de que un estudiante no encuentre trabajo en su región es

0.395

, determine la probabilidad de que un estudiante de la universidad

C

encuentre trabajo en su región.b) Calcule la probabilidad de que un estudiante que no haya encontrado trabajo en su región proceda de la universidad

A

o de la

B

ProbabilidadTeorema de BayesProbabilidad condicionada

Definimos los siguientes sucesos: $A$ : El estudiante procede de la universidad $A$ . $B$ : El estudiante procede de la universidad $B$ . $C$ : El estudiante procede de la universidad $C$ . $T$ : El estudiante encuentra trabajo en su región. $T^c$ : El estudiante no encuentra trabajo en su región.Datos proporcionados por el enunciado:

P(A) = 0.60

P(B) = 0.30

P(C) = 1 - P(A) - P(B) = 1 - 0.60 - 0.30 = 0.10

P(T^c|A) = 0.4

P(T^c|B) = 0.5

a) Si la probabilidad de que un estudiante no encuentre trabajo en su región es

0.395

, determine la probabilidad de que un estudiante de la universidad

C

encuentre trabajo en su región.

Se nos da que $P(T^c) = 0.395$ . Utilizamos el Teorema de la Probabilidad Total para $P(T^c)$ :

P(T^c) = P(T^c|A)P(A) + P(T^c|B)P(B) + P(T^c|C)P(C)

Sustituimos los valores conocidos:

0.395 = (0.4)(0.6) + (0.5)(0.3) + P(T^c|C)(0.1)

0.395 = 0.24 + 0.15 + 0.1 \cdot P(T^c|C)

0.395 = 0.39 + 0.1 \cdot P(T^c|C)

0.005 = 0.1 \cdot P(T^c|C)

P(T^c|C) = \frac{0.005}{0.1} = 0.05

La probabilidad de que un estudiante de la universidad $C$ encuentre trabajo en su región es $P(T|C) = 1 - P(T^c|C)$ :

P(T|C) = 1 - 0.05 = 0.95

b) Calcule la probabilidad de que un estudiante que no haya encontrado trabajo en su región proceda de la universidad

A

o de la

B

Se nos pide calcular $P(A \cup B | T^c)$ . Dado que los sucesos $A$ y $B$ son mutuamente excluyentes (un estudiante no puede proceder de dos universidades a la vez), esta probabilidad se puede expresar como $P(A | T^c) + P(B | T^c)$ .Utilizamos el Teorema de Bayes para calcular $P(A | T^c)$ y $P(B | T^c)$ :

P(A | T^c) = \frac{P(T^c|A)P(A)}{P(T^c)}

P(A | T^c) = \frac{(0.4)(0.6)}{0.395} = \frac{0.24}{0.395}

P(B | T^c) = \frac{P(T^c|B)P(B)}{P(T^c)}

P(B | T^c) = \frac{(0.5)(0.3)}{0.395} = \frac{0.15}{0.395}

Ahora sumamos estas probabilidades:

P(A \cup B | T^c) = P(A | T^c) + P(B | T^c) = \frac{0.24}{0.395} + \frac{0.15}{0.395}

P(A \cup B | T^c) = \frac{0.24 + 0.15}{0.395} = \frac{0.39}{0.395}

P(A \cup B | T^c) \approx 0.98734177