T5: Probabilidad · Operaciones con sucesos — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2020

Operaciones con sucesos

Problema

2020 · Extraordinaria · Suplente

En un centro de enseñanza secundaria, el $11\%$ de los profesores ocupan cargos directivos y el $13\%$ pertenecen a alguna comisión. Además, el $6\%$ ocupan un cargo directivo y pertenecen a alguna comisión.

a) ¿Cuál es el porcentaje de profesores que pertenecen a alguna comisión y no ocupan ningún cargo directivo?b) Calcule el porcentaje de profesores que no ocupan cargos directivos ni pertenecen a ninguna comisión.c) De los profesores que ocupan un cargo directivo, ¿qué porcentaje pertenece a alguna comisión?

SucesosProbabilidad Condicionada

Resolución de problema de probabilidad

Definimos los sucesos del problema y extraemos los datos en términos de probabilidad: $D$ : El profesor ocupa un cargo directivo. $C$ : El profesor pertenece a una comisión.

P(D) = 0,11

P(C) = 0,13

P(D \cap C) = 0,06

a) ¿Cuál es el porcentaje de profesores que pertenecen a alguna comisión y no ocupan ningún cargo directivo?

Se solicita la probabilidad de que un profesor pertenezca a una comisión y no sea directivo, lo cual se expresa como $P(C \cap \bar{D})$ :

P(C \cap \bar{D}) = P(C) - P(C \cap D)

P(C \cap \bar{D}) = 0,13 - 0,06 = 0,07

El porcentaje de profesores que pertenecen a alguna comisión y no ocupan cargos directivos es del $7\%$ .

b) Calcule el porcentaje de profesores que no ocupan cargos directivos ni pertenecen a ninguna comisión.

Buscamos la probabilidad del suceso intersección de los contrarios $P(\bar{D} \cap \bar{C})$ . Por las leyes de De Morgan, esto es igual a la probabilidad del contrario de la unión:

P(\bar{D} \cap \bar{C}) = P(\overline{D \cup C}) = 1 - P(D \cup C)

Primero calculamos la probabilidad de la unión de ambos sucesos:

P(D \cup C) = P(D) + P(C) - P(D \cap C)

P(D \cup C) = 0,11 + 0,13 - 0,06 = 0,18

Ahora restamos este valor de la unidad para obtener el suceso pedido:

P(\bar{D} \cap \bar{C}) = 1 - 0,18 = 0,82

El porcentaje de profesores que no ocupan cargos directivos ni pertenecen a comisiones es del $82\%$ .

c) De los profesores que ocupan un cargo directivo, ¿qué porcentaje pertenece a alguna comisión?

Se trata de una probabilidad condicionada. Queremos saber la probabilidad de que pertenezca a una comisión sabiendo que ya ocupa un cargo directivo, $P(C|D)$ :

P(C|D) = \frac{P(C \cap D)}{P(D)}

P(C|D) = \frac{0,06}{0,11} \approx 0,5455

El porcentaje de directivos que además pertenecen a una comisión es del $54,55\%$ .