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T5: Integrales
Áreas
Problema
2021 · Ordinaria · Suplente
4
Examen

Considera las funciones f,g:R→Rf, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} definidas por f(x)=∣x∣−2f(x) = |x| - 2 y por g(x)=4−x2g(x) = 4 - x^2.

a) Halla los puntos de corte de las gráficas de ambas funciones y esboza el recinto que delimitan.b) Determina el área del recinto anterior.
ÁreasValor absolutoRecintos planos
a) Para hallar los puntos de corte, igualamos las expresiones de ambas funciones, f(x)=g(x)f(x) = g(x). Debido a la función valor absoluto, distinguimos dos casos:

Caso 1: x≥0x \ge 0. En este caso, f(x)=x−2f(x) = x - 2.

x−2=4−x2x - 2 = 4 - x^2
x2+x−6=0x^2 + x - 6 = 0
x=−1±12−4(1)(−6)2(1)=−1±1+242=−1±52x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}

Las soluciones son x1=−1+52=2x_1 = \frac{-1 + 5}{2} = 2 y x2=−1−52=−3x_2 = \frac{-1 - 5}{2} = -3. Como estamos en el caso x≥0x \ge 0, la solución válida es x=2x = 2. El punto de corte es (2,f(2))=(2,∣2∣−2)=(2,0)(2, f(2)) = (2, |2|-2) = (2, 0).Caso 2: x<0x < 0. En este caso, f(x)=−x−2f(x) = -x - 2.

−x−2=4−x2-x - 2 = 4 - x^2
x2−x−6=0x^2 - x - 6 = 0
x=−(−1)±(−1)2−4(1)(−6)2(1)=1±1+242=1±52x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}

Las soluciones son x1=1+52=3x_1 = \frac{1 + 5}{2} = 3 y x2=1−52=−2x_2 = \frac{1 - 5}{2} = -2. Como estamos en el caso x<0x < 0, la solución válida es x=−2x = -2. El punto de corte es (−2,f(−2))=(−2,∣−2∣−2)=(−2,0)(-2, f(-2)) = (-2, |-2|-2) = (-2, 0).Los puntos de corte de las gráficas son (−2,0)(-2, 0) y (2,0)(2, 0).Para esbozar el recinto:La función f(x)=∣x∣−2f(x) = |x| - 2 tiene forma de 'V' con vértice en (0,−2)(0, -2), abriéndose hacia arriba. Pasa por (−2,0)(-2, 0) y (2,0)(2, 0).La función g(x)=4−x2g(x) = 4 - x^2 es una parábola invertida con vértice en (0,4)(0, 4), abriéndose hacia abajo. Sus raíces son x=±2x = \pm 2, por lo que pasa por (−2,0)(-2, 0) y (2,0)(2, 0).El recinto delimitado es la región encerrada entre la parábola (superior) y la función valor absoluto (inferior) en el intervalo x∈[−2,2]x \in [-2, 2]. Ambas funciones son simétricas respecto al eje Y.

b) Para determinar el área del recinto, integramos la diferencia entre la función superior y la función inferior en el intervalo de los puntos de corte. En este caso, g(x)=4−x2g(x) = 4 - x^2 es la función superior y f(x)=∣x∣−2f(x) = |x| - 2 es la función inferior.

Dada la simetría de ambas funciones respecto al eje Y, podemos calcular el área de 00 a 22 y multiplicar por 22. Para x≥0x \ge 0, f(x)=x−2f(x) = x - 2.

Aˊrea=∫−22(g(x)−f(x))dx=2∫02((4−x2)−(x−2))dx\text{Área} = \int_{-2}^{2} (g(x) - f(x)) dx = 2 \int_{0}^{2} ((4 - x^2) - (x - 2)) dx
Aˊrea=2∫02(4−x2−x+2)dx\text{Área} = 2 \int_{0}^{2} (4 - x^2 - x + 2) dx
Aˊrea=2∫02(−x2−x+6)dx\text{Área} = 2 \int_{0}^{2} (-x^2 - x + 6) dx

Calculamos la integral definida:

Aˊrea=2[−x33−x22+6x]02\text{Área} = 2 \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 6x \right]_{0}^{2}
Aˊrea=2((−233−222+6(2))−(−033−022+6(0)))\text{Área} = 2 \left( \left( -\frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2} + 6(2) \right) - \left( -\frac{0^3}{3} - \frac{0^2}{2} + 6(0) \right) \right)
Aˊrea=2((−83−42+12)−(0))\text{Área} = 2 \left( \left( -\frac{8}{3} - \frac{4}{2} + 12 \right) - (0) \right)
Aˊrea=2(−83−2+12)\text{Área} = 2 \left( -\frac{8}{3} - 2 + 12 \right)
Aˊrea=2(−83+10)\text{Área} = 2 \left( -\frac{8}{3} + 10 \right)
Aˊrea=2(−8+303)\text{Área} = 2 \left( \frac{-8 + 30}{3} \right)
Aˊrea=2(223)\text{Área} = 2 \left( \frac{22}{3} \right)
Aˊrea=443\text{Área} = \frac{44}{3}

El área del recinto es 443\frac{44}{3} unidades cuadradas.