T1: Interacción gravitatoria

Satélites

Problema

2020 · Extraordinaria · Suplente

5-b

Un satélite de $500 \text{ kg}$ describe una órbita circular alrededor de la Tierra con un periodo de $16 \text{ h}$ .

b) i) Determine la altura a la que se encuentra el satélite de la superficie terrestre. ii) Calcule la energía mecánica del satélite en la órbita.

Datos: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}; M_T = 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}; R_T = 6370 \text{ km}$

Órbita circularEnergía mecánica

b) i) Determine la altura a la que se encuentra el satélite de la superficie terrestre.

Primero, convertimos el periodo de horas a segundos y el radio de la Tierra de kilómetros a metros:

T = 16 \text{ h} \times \frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ h}} = 57600 \text{ s}

R_T = 6370 \text{ km} \times \frac{1000 \text{ m}}{1 \text{ km}} = 6.37 \times 10^6 \text{ m}

Para un satélite en órbita circular, la fuerza gravitatoria ( $F_g$ ) proporciona la fuerza centrípeta ( $F_c$ ). Así, podemos relacionar el periodo orbital ( $T$ ) con el radio de la órbita ( $r$ ):

F_g = F_c \\ G \frac{M_T m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}

Donde la velocidad orbital es $v = \frac{2 \pi r}{T}$ . Sustituyendo $v$ en la ecuación anterior:

G \frac{M_T}{r^2} = \frac{(2 \pi r / T)^2}{r} \\ G \frac{M_T}{r^2} = \frac{4 \pi^2 r^2}{T^2 r} \\ G \frac{M_T}{r^2} = \frac{4 \pi^2 r}{T^2} \\ r^3 = \frac{G M_T T^2}{4 \pi^2}

Ahora sustituimos los valores para calcular el radio de la órbita ( $r$ ):

r^3 = \frac{(6.67 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}) \times (5.98 \times 10^{24} \text{ kg}) \times (57600 \text{ s})^2}{4 \pi^2}

r^3 \approx \frac{(6.67 \times 10^{-11}) \times (5.98 \times 10^{24}) \times (3.31776 \times 10^9)}{39.4784}

r^3 \approx \frac{1.32323 \times 10^{24} \text{ m}^3}{39.4784} \approx 3.3518 \times 10^{22} \text{ m}^3

r = (3.3518 \times 10^{22})^{1/3} \text{ m} \approx 3.223 \times 10^7 \text{ m}

La altura ( $h$ ) a la que se encuentra el satélite de la superficie terrestre es la diferencia entre el radio orbital y el radio de la Tierra:

h = r - R_T

h = (3.223 \times 10^7 \text{ m}) - (6.37 \times 10^6 \text{ m})

h = (32.23 \times 10^6 \text{ m}) - (6.37 \times 10^6 \text{ m}) = 25.86 \times 10^6 \text{ m}

h = 25860 \text{ km}

b) ii) Calcule la energía mecánica del satélite en la órbita.

La energía mecánica total ( $E_M$ ) de un satélite en órbita circular es la suma de su energía cinética ( $E_k$ ) y su energía potencial gravitatoria ( $E_p$ ).

E_M = E_k + E_p

Para una órbita circular, la energía potencial gravitatoria es $E_p = -G \frac{M_T m}{r}$ . La energía cinética se puede expresar a partir de la igualdad de fuerzas que establecimos anteriormente ( $G \frac{M_T m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$ ):

m v^2 = G \frac{M_T m}{r} \implies E_k = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} G \frac{M_T m}{r}

Por lo tanto, la energía mecánica total es:

E_M = \frac{1}{2} G \frac{M_T m}{r} - G \frac{M_T m}{r} = -\frac{1}{2} G \frac{M_T m}{r}

Sustituimos los valores conocidos, utilizando el radio orbital ( $r$ ) calculado anteriormente:

E_M = -\frac{1}{2} \times (6.67 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}) \times \frac{(5.98 \times 10^{24} \text{ kg}) \times (500 \text{ kg})}{3.223 \times 10^7 \text{ m}}

E_M = -\frac{1}{2} \times (6.67 \times 10^{-11}) \times \frac{2.99 \times 10^{27}}{3.223 \times 10^7} \text{ J}

E_M = -\frac{1}{2} \times (6.67 \times 10^{-11}) \times (9.276 \times 10^{19}) \text{ J}

E_M \approx -3.093 \times 10^9 \text{ J}