T5: Probabilidad · Propiedades de la probabilidad — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2021

Propiedades de la probabilidad

Problema

2021 · Extraordinaria · Suplente

Sean $A$ y $B$ dos sucesos asociados a un mismo espacio muestral con $P(A^c) = 0.4$ y $P(A \cap B^c) = 0.12$ .

a) Calcule

P(A)

P(A \cap B)

.b) Determine

P(B)

para que

A

B

sean independientes.c) Si

P(B^c) = 0.2

, calcule

P(A \cup B)

P(A^c \cup B^c)

P(A/B^c)

Sucesos independientesIntersección de sucesosProbabilidad de la unión

a) Calcule

P(A)

P(A \cap B)

A partir de $P(A^c) = 0.4$ , calculamos $P(A)$ :

P(A) = 1 - P(A^c) = 1 - 0.4 = 0.6

Utilizando la propiedad $P(A \cap B^c) = P(A) - P(A \cap B)$ , y sabiendo que $P(A \cap B^c) = 0.12$ y $P(A) = 0.6$ , podemos calcular $P(A \cap B)$ :

0.12 = 0.6 - P(A \cap B)

P(A \cap B) = 0.6 - 0.12 = 0.48

b) Determine

P(B)

para que

A

B

sean independientes.

Si $A$ y $B$ son independientes, entonces $A$ y $B^c$ también lo son. Por lo tanto, se cumple que $P(A \cap B^c) = P(A) \cdot P(B^c)$ .Sustituyendo los valores conocidos:

0.12 = 0.6 \cdot P(B^c)

Despejamos $P(B^c)$ :

P(B^c) = \frac{0.12}{0.6} = 0.2

Finalmente, calculamos $P(B)$ :

P(B) = 1 - P(B^c) = 1 - 0.2 = 0.8

c) Si

P(B^c) = 0.2

, calcule

P(A \cup B)

P(A^c \cup B^c)

P(A/B^c)

Dado $P(B^c) = 0.2$ , entonces $P(B) = 1 - P(B^c) = 1 - 0.2 = 0.8$ . Sabemos de los apartados anteriores que $P(A) = 0.6$ y $P(A \cap B^c) = 0.12$ .Para calcular $P(A \cup B)$ , primero necesitamos $P(A \cap B)$ :

P(A \cap B^c) = P(A) - P(A \cap B)

0.12 = 0.6 - P(A \cap B)

P(A \cap B) = 0.6 - 0.12 = 0.48

Ahora podemos calcular $P(A \cup B)$ :

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

P(A \cup B) = 0.6 + 0.8 - 0.48 = 1.4 - 0.48 = 0.92

Para calcular $P(A^c \cup B^c)$ , utilizamos la Ley de De Morgan:

P(A^c \cup B^c) = P((A \cap B)^c) = 1 - P(A \cap B)

P(A^c \cup B^c) = 1 - 0.48 = 0.52

Para calcular $P(A/B^c)$ , utilizamos la definición de probabilidad condicional:

P(A/B^c) = \frac{P(A \cap B^c)}{P(B^c)}

P(A/B^c) = \frac{0.12}{0.2} = 0.6