T6: Teoría de muestras · Inferencia estadística para la media — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2021

Inferencia estadística para la media

Problema

2021 · Extraordinaria · Suplente

El tiempo, en horas, que los alumnos de un instituto dedican a estudiar para los exámenes finales, se distribuye siguiendo una ley Normal de media desconocida y varianza 81. Se toma una muestra aleatoria de 16 alumnos de dicho instituto, obteniéndose los siguientes tiempos:30 42 38 45 52 60 21 26 33 44 28 49 32 51 49 40

a) Obtenga un intervalo, con un 95 % de confianza, para estimar el tiempo medio de estudio de los alumnos de ese instituto.b) Calcule el mínimo tamaño de la muestra que se ha de tomar, para estimar el tiempo medio de estudio de esos alumnos con un error inferior a 2 horas y un nivel de confianza del 98 %.

Distribución NormalIntervalo de confianza para la mediaTamaño muestral

Datos iniciales:Varianza poblacional: $\sigma^2 = 81 \Rightarrow \sigma = 9$ horas.Muestra aleatoria de $n = 16$ alumnos con los siguientes tiempos:30, 42, 38, 45, 52, 60, 21, 26, 33, 44, 28, 49, 32, 51, 49, 40 Calculamos la media muestral $(\bar{x})$ :

\bar{x} = \frac{30+42+38+45+52+60+21+26+33+44+28+49+32+51+49+40}{16} = \frac{640}{16} = 40

Por lo tanto, la media muestral es $\bar{x} = 40$ horas.

a) Obtenga un intervalo, con un 95 % de confianza, para estimar el tiempo medio de estudio de los alumnos de ese instituto.

Para un nivel de confianza del 95 %:

1 - \alpha = 0.95 \Rightarrow \alpha = 0.05 \Rightarrow \alpha/2 = 0.025

Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ en las tablas de la distribución Normal Estándar, de modo que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0.025 = 0.975$ .El valor $z_{0.025}$ es 1.96.El intervalo de confianza para la media poblacional $(\mu)$ cuando la varianza poblacional es conocida se calcula mediante la fórmula:

\left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)

Sustituyendo los valores conocidos:

\left( 40 - 1.96 \frac{9}{\sqrt{16}}, 40 + 1.96 \frac{9}{\sqrt{16}} \right)

\left( 40 - 1.96 \frac{9}{4}, 40 + 1.96 \frac{9}{4} \right)

\left( 40 - 1.96 \cdot 2.25, 40 + 1.96 \cdot 2.25 \right)

\left( 40 - 4.41, 40 + 4.41 \right)

\left( 35.59, 44.41 \right)

El intervalo de confianza del 95 % para el tiempo medio de estudio es $(35.59, 44.41)$ horas.

b) Calcule el mínimo tamaño de la muestra que se ha de tomar, para estimar el tiempo medio de estudio de esos alumnos con un error inferior a 2 horas y un nivel de confianza del 98 %.

El error máximo permitido ( $E$ ) es 2 horas.Para un nivel de confianza del 98 %:

1 - \alpha = 0.98 \Rightarrow \alpha = 0.02 \Rightarrow \alpha/2 = 0.01

Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ en las tablas de la distribución Normal Estándar, de modo que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0.01 = 0.99$ .El valor $z_{0.01}$ es 2.33.La fórmula para el tamaño de la muestra $(n)$ cuando la varianza poblacional es conocida es:

n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2

Sustituyendo los valores conocidos:

n = \left( \frac{2.33 \cdot 9}{2} \right)^2

n = \left( \frac{20.97}{2} \right)^2

n = (10.485)^2

n = 109.935225

Dado que el tamaño de la muestra debe ser un número entero y se requiere que el error sea inferior a 2 horas, debemos redondear al entero superior.

n = 110

El mínimo tamaño de la muestra que se ha de tomar es de 110 alumnos.