T5: Probabilidad · Sucesos — MATEMATICA APLICADAS A LAS CIENCIA SOCIALES II PEvAU Andalucía 2021

T5: Probabilidad

Sucesos

Problema

2021 · Ordinaria · Reserva

BLOQUE C

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un mismo experimento aleatorio de los que se sabe que:

P(A - B) = 0.3 \quad P(A^c) = 0.35 \quad P(B) = 0.55

a) Calcule la probabilidad de que suceda al menos uno de ellos.b) Calcule la probabilidad de que ocurra

B

, sabiendo que no ha ocurrido

A

.c) Calcule la probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos sucesos.d) Razone si los sucesos

A

B

son independientes.

SucesosProbabilidad condicionadaIndependencia

Primero, vamos a calcular las probabilidades de los sucesos $A$ y $A \cap B$ a partir de los datos proporcionados:

P(A^c) = 0.35 \implies P(A) = 1 - P(A^c) = 1 - 0.35 = 0.65

Sabemos que $P(A - B) = P(A) - P(A \cap B)$ . Por lo tanto:

0.3 = 0.65 - P(A \cap B) \implies P(A \cap B) = 0.65 - 0.3 = 0.35

Recopilando las probabilidades que utilizaremos:

\begin{array}{l} P(A) = 0.65 \\ P(B) = 0.55 \\ P(A \cap B) = 0.35 \\ P(A^c) = 0.35 \end{array}

a) Calcule la probabilidad de que suceda al menos uno de ellos.

La probabilidad de que suceda al menos uno de ellos es $P(A \cup B)$ . Utilizamos la fórmula de la unión de sucesos:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

P(A \cup B) = 0.65 + 0.55 - 0.35 = 1.20 - 0.35 = 0.85

b) Calcule la probabilidad de que ocurra

B

, sabiendo que no ha ocurrido

A

Esta es la probabilidad condicional $P(B | A^c)$ . La fórmula es:

P(B | A^c) = \frac{P(B \cap A^c)}{P(A^c)}

El suceso $B \cap A^c$ es lo mismo que $B - A$ (sucede $B$ pero no $A$ ). Calculamos $P(B - A)$ :

P(B - A) = P(B) - P(A \cap B) = 0.55 - 0.35 = 0.20

Ahora podemos calcular la probabilidad condicional:

P(B | A^c) = \frac{0.20}{0.35} = \frac{20}{35} = \frac{4}{7}

c) Calcule la probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos sucesos.

La probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos sucesos es $P(A^c \cap B^c)$ . Por las leyes de De Morgan, esto es equivalente a $P((A \cup B)^c)$ , que es $1 - P(A \cup B)$ .

P(A^c \cap B^c) = 1 - P(A \cup B)

Usando el resultado del apartado a):

P(A^c \cap B^c) = 1 - 0.85 = 0.15

d) Razone si los sucesos

A

B

son independientes.

Dos sucesos $A$ y $B$ son independientes si y solo si $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ . Vamos a comprobar esta condición:

P(A \cap B) = 0.35

P(A) \cdot P(B) = 0.65 \cdot 0.55 = 0.3575

Dado que $P(A \cap B) = 0.35 \neq P(A) \cdot P(B) = 0.3575$ , los sucesos $A$ y $B$ no son independientes.