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T4: Funciones
Derivabilidad y continuidad
Problema
2020 · Extraordinaria · Titular
5
Examen

Sea la función derivable f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida por

f(x)={e2ax−4bsi x<11−xln⁡xsi x≥1f(x) = \begin{cases} e^{2ax-4b} & \text{si } x < 1 \\ 1 - x \ln x & \text{si } x \geq 1 \end{cases}

(ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano).

a) Determina los valores de aa y bb.b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=2x = 2.
Funciones a trozosRecta tangenteLogaritmos
a) Determina los valores de aa y bb.

Dado que la función f(x)f(x) es derivable en todo R\mathbb{R}, debe ser continua y derivable en el punto de cambio de definición, x=1x=1.Para que la función sea continua en x=1x=1, los límites laterales y el valor de la función en el punto deben ser iguales:

lim⁡x→1−f(x)=lim⁡x→1−e2ax−4b=e2a(1)−4b=e2a−4b\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} e^{2ax-4b} = e^{2a(1)-4b} = e^{2a-4b}
lim⁡x→1+f(x)=lim⁡x→1+(1−xln⁡x)=1−1ln⁡1=1−0=1\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (1 - x \ln x) = 1 - 1 \ln 1 = 1 - 0 = 1
f(1)=1−1ln⁡1=1f(1) = 1 - 1 \ln 1 = 1

Igualando los límites para la continuidad, obtenemos la primera ecuación:

e2a−4b=1  ⟹  2a−4b=0  ⟹  a=2b(Ecuacioˊn 1)e^{2a-4b} = 1 \implies 2a-4b = 0 \implies a = 2b \quad\text{(Ecuación 1)}

Para que la función sea derivable en x=1x=1, las derivadas laterales deben ser iguales. Primero calculamos la derivada de cada rama:

Para x<1x < 1: $f'(x) = \frac{d}{dx}(e^{2ax-4b}) = e^{2ax-4b} \cdot (2a) = 2a e^{2ax-4b}
Para $x > 1$: $f'(x) = \frac{d}{dx}(1 - x \ln x) = -(1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}) = -(\ln x + 1)

Ahora evaluamos las derivadas laterales en x=1x=1:

f′(1−)=lim⁡x→1−2ae2ax−4b=2ae2a−4bf'(1^-) = \lim_{x \to 1^-} 2a e^{2ax-4b} = 2a e^{2a-4b}
f′(1+)=lim⁡x→1+−(ln⁡x+1)=−(ln⁡1+1)=−(0+1)=−1f'(1^+) = \lim_{x \to 1^+} -(\ln x + 1) = -(\ln 1 + 1) = -(0+1) = -1

Igualando las derivadas laterales para la derivabilidad, obtenemos la segunda ecuación:

2ae2a−4b=−1(Ecuacioˊn 2)2a e^{2a-4b} = -1 \quad\text{(Ecuación 2)}

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

{e2a−4b=12ae2a−4b=−1\begin{cases} e^{2a-4b} = 1 \\ 2a e^{2a-4b} = -1 \end{cases}

De la primera ecuación, sabemos que e2a−4b=1e^{2a-4b} = 1. Sustituyendo esto en la segunda ecuación:

2a(1)=−1  ⟹  2a=−1  ⟹  a=−122a(1) = -1 \implies 2a = -1 \implies a = -\frac{1}{2}

Ahora, sustituimos el valor de aa en la relación a=2ba=2b (Ecuación 1):

−12=2b  ⟹  b=−14-\frac{1}{2} = 2b \implies b = -\frac{1}{4}

Por lo tanto, los valores de aa y bb son:

a=−12,b=−14a = -\frac{1}{2}, \quad b = -\frac{1}{4}
b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=2x = 2.

Para x=2x=2, la función f(x)f(x) se define como f(x)=1−xln⁡xf(x) = 1 - x \ln x, ya que 2≥12 \geq 1.El punto de tangencia (x0,y0)(x_0, y_0) es x0=2x_0 = 2:

y0=f(2)=1−2ln⁡2y_0 = f(2) = 1 - 2 \ln 2

La pendiente de la recta tangente mm se obtiene evaluando la derivada en x0=2x_0 = 2. La derivada para x>1x > 1 es f′(x)=−(ln⁡x+1)f'(x) = -(\ln x + 1):

m=f′(2)=−(ln⁡2+1)m = f'(2) = -(\ln 2 + 1)

La ecuación de la recta tangente tiene la forma y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0). Sustituyendo los valores:

y−(1−2ln⁡2)=−(ln⁡2+1)(x−2)y - (1 - 2 \ln 2) = -(\ln 2 + 1)(x - 2)

Desarrollamos la ecuación para simplificarla:

y=−(ln⁡2+1)x+2(ln⁡2+1)+1−2ln⁡2y = -(\ln 2 + 1)x + 2(\ln 2 + 1) + 1 - 2 \ln 2
y=−(ln⁡2+1)x+2ln⁡2+2+1−2ln⁡2y = -(\ln 2 + 1)x + 2 \ln 2 + 2 + 1 - 2 \ln 2
y=−(ln⁡2+1)x+3y = -(\ln 2 + 1)x + 3

La ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=2x=2 es:

y=−(ln⁡2+1)x+3y = -(\ln 2 + 1)x + 3