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T1: Interacción gravitatoria
Dinámica y energía
Problema
2021 · Ordinaria · Titular
A1-b
Examen
b) Un cuerpo de masa 2 kg2 \text{ kg} desliza por una superficie horizontal de coeficiente de rozamiento 0,20,2 con una velocidad inicial de 6 m⋅s−16 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}. Cuando ha recorrido 5 m5 \text{ m} sobre el plano horizontal, comienza a subir por un plano inclinado sin rozamiento que forma un ángulo de 30∘30^\circ con la horizontal. Utilizando consideraciones energéticas, determine:i) La velocidad con la que comienza a subir el cuerpo por el plano inclinado.ii) La distancia que recorre por el plano inclinado hasta alcanzar la altura máxima.

Dato: g=9,8 m⋅s−2g = 9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}

Trabajo y energíaRozamientoPlano inclinado
Resolución del Ejercicio de Física
b) i) La velocidad con la que comienza a subir el cuerpo por el plano inclinado.

Para determinar la velocidad del cuerpo al final del tramo horizontal, utilizaremos el teorema de la energía cinética. En este tramo, actúan el peso, la fuerza normal y la fuerza de rozamiento. Solo la fuerza de rozamiento realiza trabajo no conservativo.

mPNfr

Sobre la superficie horizontal, las fuerzas verticales se equilibran:

N−P=0⇒N=P=mgN - P = 0 \Rightarrow N = P = m g

La fuerza de rozamiento es:

fr=μkN=μkmgf_r = \mu_k N = \mu_k m g

El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento es negativo, ya que se opone al movimiento:

Wfr=−fr⋅dh=−μkmgdhW_{fr} = -f_r \cdot d_h = -\mu_k m g d_h

Según el teorema de la energía cinética, el trabajo total es igual al cambio en la energía cinética:

Wtotal=ΔEk=Ek,f−Ek,0W_{total} = \Delta E_k = E_{k,f} - E_{k,0}

En este caso, el único trabajo no nulo es el de rozamiento, por lo tanto:

−μkmgdh=12mvf2−12mv02-\mu_k m g d_h = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_0^2

Podemos simplificar la masa mm de la ecuación:

−μkgdh=12vf2−12v02-\mu_k g d_h = \frac{1}{2} v_f^2 - \frac{1}{2} v_0^2

Despejamos la velocidad final vfv_f:

vf2=v02−2μkgdhv_f^2 = v_0^2 - 2 \mu_k g d_h

Sustituimos los valores dados: v0=6 m⋅s−1v_0 = 6 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}, μk=0,2\mu_k = 0,2, g=9,8 m⋅s−2g = 9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}, dh=5 md_h = 5 \text{ m}.

vf2=(6 m⋅s−1)2−2(0,2)(9,8 m⋅s−2)(5 m)vf2=36 m2⋅s−2−19,6 m2⋅s−2vf2=16,4 m2⋅s−2vf=16,4 m⋅s−1≈4,05 m⋅s−1\begin{gathered} v_f^2 = (6 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1})^2 - 2 (0,2) (9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}) (5 \text{ m}) \\ v_f^2 = 36 \text{ m}^2 \cdot \text{s}^{-2} - 19,6 \text{ m}^2 \cdot \text{s}^{-2} \\ v_f^2 = 16,4 \text{ m}^2 \cdot \text{s}^{-2} \\ v_f = \sqrt{16,4} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} \approx 4,05 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} \end{gathered}

La velocidad con la que el cuerpo comienza a subir por el plano inclinado es 4,05 m⋅s−14,05 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}.

b) ii) La distancia que recorre por el plano inclinado hasta alcanzar la altura máxima.

En el plano inclinado no hay rozamiento, por lo que la energía mecánica se conserva. Tomamos como nivel de referencia de energía potencial el inicio del plano inclinado.

θ=30° m PNP·sinθP·cosθ

La conservación de la energía mecánica se expresa como:

Ek,i′+Ep,i′=Ek,f′+Ep,f′E_{k,i}' + E_{p,i}' = E_{k,f}' + E_{p,f}'

Donde vi′v_i' es la velocidad con la que el cuerpo comienza a subir por el plano inclinado (la vfv_f calculada en el apartado anterior), y vf′v_f' es la velocidad final en la altura máxima (que es 0 m⋅s−10 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}). La altura inicial hi′h_i' es 0 m0 \text{ m} y la altura final es hmaxh_{max}.

12m(vi′)2+mg(0)=12m(0)2+mghmax\frac{1}{2} m (v_i')^2 + m g (0) = \frac{1}{2} m (0)^2 + m g h_{max}

Simplificando y despejando la altura máxima hmaxh_{max}:

12m(vi′)2=mghmaxhmax=(vi′)22g\begin{gathered} \frac{1}{2} m (v_i')^2 = m g h_{max} \\ h_{max} = \frac{(v_i')^2}{2g} \end{gathered}

La distancia dincd_{inc} recorrida sobre el plano inclinado está relacionada con la altura máxima hmaxh_{max} por la trigonometría del ángulo de inclinación α=30∘\alpha = 30^\circ:

h_{max} = d_{inc} \sin(\alpha)

Por lo tanto, la distancia dincd_{inc} es:

d_{inc} = \frac{h_{max}}{\sin(\alpha)} = \frac{(v_i')^2}{2g \sin(\alpha)}

Sustituimos los valores: vi′=4,05 m⋅s−1v_i' = 4,05 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}, g=9,8 m⋅s−2g = 9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}, α=30∘\alpha = 30^\circ.

dinc=(4,05 m⋅s−1)22(9,8 m⋅s−2)sin⁡(30∘)dinc=16,4025 m2⋅s−22(9,8 m⋅s−2)(0,5)dinc=16,40259,8 mdinc≈1,67 m\begin{gathered} d_{inc} = \frac{(4,05 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1})^2}{2 (9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}) \sin(30^\circ)} \\ d_{inc} = \frac{16,4025 \text{ m}^2 \cdot \text{s}^{-2}}{2 (9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}) (0,5)} \\ d_{inc} = \frac{16,4025}{9,8} \text{ m} \\ d_{inc} \approx 1,67 \text{ m} \end{gathered}

La distancia que recorre el cuerpo por el plano inclinado hasta alcanzar la altura máxima es 1,67 m1,67 \text{ m}.