T3: Vibraciones y ondas · Ondas estacionarias — FISICA PEvAU Andalucía 2018

Ondas estacionarias

Teoría

2018 · Ordinaria · Suplente

3B-a

a) Indique, razonando sus respuestas, qué características deben tener dos ondas que se propagan por una cuerda tensa con sus dos extremos fijos para que su superposición origine una onda estacionaria.

Ondas estacionariasSuperposición

a) Condiciones para que la superposición de dos ondas en una cuerda tensa con extremos fijos origine una onda estacionaria.

Una onda estacionaria se forma cuando dos ondas se superponen de tal manera que el patrón resultante no se desplaza en ninguna dirección, sino que oscila en el mismo lugar. Para que esto ocurra en una cuerda tensa con ambos extremos fijos, las dos ondas deben cumplir las siguientes condiciones:

1) Misma naturaleza y magnitud de amplitud: Ambas ondas deben ser del mismo tipo (transversales en una cuerda) y tener la misma amplitud

A

. Si las amplitudes fueran distintas, la superposición no daría lugar a nodos perfectos (puntos de reposo absoluto), y el patrón resultante no sería puramente estacionario.2) Misma frecuencia (y por tanto misma longitud de onda): Las dos ondas deben tener la misma frecuencia

f

y la misma longitud de onda

\lambda

. Si las frecuencias fueran diferentes, el patrón de interferencia variaría con el tiempo y no se formaría una onda estacionaria.3) Sentidos de propagación opuestos: Las dos ondas deben propagarse en sentidos contrarios a lo largo de la cuerda. Una viaja hacia la derecha y la otra hacia la izquierda. Esto es lo que físicamente ocurre en una cuerda con extremos fijos: la onda incidente se refleja en los extremos fijos y la onda reflejada viaja en sentido opuesto a la incidente.

Matemáticamente, si las dos ondas son:

y_1 = A\sin(kx - \omega t) \quad \text{(onda hacia la derecha)}

y_2 = A\sin(kx + \omega t) \quad \text{(onda hacia la izquierda)}

Su superposición, aplicando la identidad trigonométrica de suma de senos, da lugar a:

y = y_1 + y_2 = 2A\sin(kx)\cos(\omega t)

Esta expresión representa una onda estacionaria: el factor $\sin(kx)$ determina la posición fija de los nodos (donde $y = 0$ siempre) y de los vientres (donde la amplitud es máxima $2A$ ), mientras que el factor $\cos(\omega t)$ indica que todos los puntos oscilan en fase o en oposición de fase, pero el patrón no se desplaza.

4) Condición de contorno (extremos fijos): Además, dado que los dos extremos de la cuerda están fijos, deben ser nodos. Esto impone que solo se pueden formar ondas estacionarias para longitudes de onda que satisfagan:

L = n\frac{\lambda}{2}, \quad n = 1, 2, 3, \ldots

donde $L$ es la longitud de la cuerda. Esto significa que solo son posibles ciertas frecuencias discretas (los modos normales o armónicos): la fundamental ( $n=1$ ) y sus armónicos superiores.En resumen: las dos ondas deben tener la misma amplitud, la misma frecuencia (y misma longitud de onda), propagarse en sentidos opuestos, y la longitud de la cuerda debe ser un número entero de semilongitudes de onda para que se satisfagan las condiciones de contorno de los extremos fijos.