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T1: Interacción gravitatoria
Campo y potencial gravitatorio
Problema
2022 · Ordinaria · Titular
A2-b
Examen

Dos masas de 22 y 4 kg4\text{ kg} se sitúan en los puntos A(2,0) mA(2,0)\text{ m} y B(0,3) mB(0,3)\text{ m}, respectivamente.

b) i) Determine el campo y el potencial gravitatorio en el origen de coordenadas.ii) Calcule el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria para trasladar una tercera masa de 1 kg1\text{ kg} desde el origen de coordenadas hasta el punto C(2,3) mC(2,3)\text{ m}.

Dato: G=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6,67\cdot10^{-11}\text{ N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}

Principio de superposiciónCampo gravitatorioPotencial gravitatorio+1
b) i) Determinación del campo y el potencial gravitatorio en el origen de coordenadas.

Las masas son m1=2 kgm_1 = 2\text{ kg} en A(2,0) mA(2,0)\text{ m} y m2=4 kgm_2 = 4\text{ kg} en B(0,3) mB(0,3)\text{ m}. El origen de coordenadas es O(0,0) mO(0,0)\text{ m}. La constante de gravitación universal es G=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6,67\cdot10^{-11}\text{ N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}.Las distancias de las masas al origen son:

r1=(0−2)2+(0−0)2=(−2)2=2 mr_1 = \sqrt{(0-2)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{(-2)^2} = 2\text{ m}
r2=(0−0)2+(0−3)2=(−3)2=3 mr_2 = \sqrt{(0-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{(-3)^2} = 3\text{ m}

El campo gravitatorio en un punto debido a una masa puntual se calcula como g⃗=−Gmr2u^r\vec{g} = -G\frac{m}{r^2}\hat{u}_r, donde u^r\hat{u}_r es el vector unitario que apunta desde la masa al punto. Para el origen, los vectores de posición desde las masas son:

r⃗1O=(0−2)i^+(0−0)j^=−2i^⇒u^1O=−i^\vec{r}_{1O} = (0-2)\hat{i} + (0-0)\hat{j} = -2\hat{i} \Rightarrow \hat{u}_{1O} = -\hat{i}
r⃗2O=(0−0)i^+(0−3)j^=−3j^⇒u^2O=−j^\vec{r}_{2O} = (0-0)\hat{i} + (0-3)\hat{j} = -3\hat{j} \Rightarrow \hat{u}_{2O} = -\hat{j}

El campo gravitatorio debido a m1m_1 en el origen es:

g⃗1=−Gm1r12u^1O=−(6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)2 kg(2 m)2(−i^)=3,335⋅10−11i^ N⋅kg−1\vec{g}_1 = -G\frac{m_1}{r_1^2}\hat{u}_{1O} = -(6,67\cdot10^{-11}\text{ N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2})\frac{2\text{ kg}}{(2\text{ m})^2}(-\hat{i}) = 3,335\cdot10^{-11}\hat{i}\text{ N}\cdot\text{kg}^{-1}

El campo gravitatorio debido a m2m_2 en el origen es:

g⃗2=−Gm2r22u^2O=−(6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)4 kg(3 m)2(−j^)=(6,67⋅10−11)49j^≈2,964⋅10−11j^ N⋅kg−1\vec{g}_2 = -G\frac{m_2}{r_2^2}\hat{u}_{2O} = -(6,67\cdot10^{-11}\text{ N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2})\frac{4\text{ kg}}{(3\text{ m})^2}(-\hat{j}) = (6,67\cdot10^{-11})\frac{4}{9}\hat{j} \approx 2,964\cdot10^{-11}\hat{j}\text{ N}\cdot\text{kg}^{-1}

El campo gravitatorio total en el origen es la suma vectorial de ambos campos:

g⃗O=g⃗1+g⃗2=(3,335⋅10−11i^+2,964⋅10−11j^) N⋅kg−1\vec{g}_O = \vec{g}_1 + \vec{g}_2 = (3,335\cdot10^{-11}\hat{i} + 2,964\cdot10^{-11}\hat{j})\text{ N}\cdot\text{kg}^{-1}

El potencial gravitatorio en un punto debido a una masa puntual se calcula como V=−GmrV = -G\frac{m}{r}. El potencial total es la suma escalar de los potenciales individuales.

VO=−Gm1r1−Gm2r2V_O = -G\frac{m_1}{r_1} - G\frac{m_2}{r_2}
VO=−(6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)2 kg2 m−(6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)4 kg3 mV_O = -(6,67\cdot10^{-11}\text{ N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2})\frac{2\text{ kg}}{2\text{ m}} - (6,67\cdot10^{-11}\text{ N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2})\frac{4\text{ kg}}{3\text{ m}}
VO=−6,67⋅10−11−8,893⋅10−11V_O = -6,67\cdot10^{-11} - 8,893\cdot10^{-11}
VO=−1,5563⋅10−10 J⋅kg−1V_O = -1,5563\cdot10^{-10}\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}
b) ii) Cálculo del trabajo realizado por la fuerza gravitatoria para trasladar una tercera masa de 1 kg1\text{ kg} desde el origen de coordenadas hasta el punto C(2,3) mC(2,3)\text{ m}.

El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria para trasladar una masa m3m_3 desde un punto OO a un punto CC se calcula como WOC=m3(VO−VC)W_{OC} = m_3(V_O - V_C).Ya hemos calculado VO=−1,5563⋅10−10 J⋅kg−1V_O = -1,5563\cdot10^{-10}\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}. Ahora calculamos el potencial en el punto C(2,3) mC(2,3)\text{ m}.Las distancias de las masas al punto CC son:

r1C=(2−2)2+(3−0)2=02+32=3 mr_{1C} = \sqrt{(2-2)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{0^2 + 3^2} = 3\text{ m}
r2C=(2−0)2+(3−3)2=22+02=2 mr_{2C} = \sqrt{(2-0)^2 + (3-3)^2} = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2\text{ m}

El potencial en el punto CC es:

VC=−Gm1r1C−Gm2r2CV_C = -G\frac{m_1}{r_{1C}} - G\frac{m_2}{r_{2C}}
VC=−(6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)2 kg3 m−(6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)4 kg2 mV_C = -(6,67\cdot10^{-11}\text{ N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2})\frac{2\text{ kg}}{3\text{ m}} - (6,67\cdot10^{-11}\text{ N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2})\frac{4\text{ kg}}{2\text{ m}}
VC=−(6,67⋅10−11)(23+2)=−(6,67⋅10−11)(2+63)=−(6,67⋅10−11)83V_C = -(6,67\cdot10^{-11})\left(\frac{2}{3} + 2\right) = -(6,67\cdot10^{-11})\left(\frac{2+6}{3}\right) = -(6,67\cdot10^{-11})\frac{8}{3}
VC≈−1,7787⋅10−10 J⋅kg−1V_C \approx -1,7787\cdot10^{-10}\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}

El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria para trasladar la masa m3=1 kgm_3 = 1\text{ kg} desde el origen al punto CC es:

WOC=m3(VO−VC)W_{OC} = m_3(V_O - V_C)
WOC=(1 kg)(−1,5563⋅10−10 J⋅kg−1−(−1,7787⋅10−10 J⋅kg−1))W_{OC} = (1\text{ kg})(-1,5563\cdot10^{-10}\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1} - (-1,7787\cdot10^{-10}\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}))
WOC=(1 kg)(2,224⋅10−11 J⋅kg−1)W_{OC} = (1\text{ kg})(2,224\cdot10^{-11}\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1})
WOC=2,224⋅10−11 JW_{OC} = 2,224\cdot10^{-11}\text{ J}