T3: Vibraciones y ondas · Ondas armónicas — FISICA PEvAU Andalucía 2021

Ondas armónicas

Problema

2021 · Extraordinaria · Suplente

C1-b

La siguiente ecuación corresponde a una onda armónica que se desplaza por un medio elástico: $y(x,t) = 0,1 \cdot \text{sen}[5\pi t - (5/2)\pi x + \pi/2]$ (S.I.)

b) Determine: i) Su periodo, su longitud de onda y su velocidad de propagación. ii) La velocidad de oscilación del punto

x = 2\text{ m}

en el instante

t = 1\text{ s}

Velocidad de propagaciónLongitud de ondaVelocidad de oscilación

b) i) Para determinar el periodo, la longitud de onda y la velocidad de propagación, comparamos la ecuación de la onda dada con la forma general de una onda armónica:

y(x,t) = A \cdot \text{sen}(\omega t - kx + \phi_0)

La ecuación de la onda es $y(x,t) = 0,1 \cdot \text{sen}[5\pi t - (5/2)\pi x + \pi/2]$ (S.I.).De la comparación, identificamos:

A = 0,1 \text{ m}

\omega = 5\pi \text{ rad/s}

k = (5/2)\pi \text{ rad/m}

\phi_0 = \pi/2 \text{ rad}

El signo negativo entre $\omega t$ y $kx$ indica que la onda se propaga en el sentido positivo del eje X.Ahora calculamos las magnitudes solicitadas:• Periodo ( $T$ ):

T = \frac{2\pi}{\omega}

T = \frac{2\pi \text{ rad}}{5\pi \text{ rad/s}} = 0,4 \text{ s}

• Longitud de onda ( $\lambda$ ):

\lambda = \frac{2\pi}{k}

\lambda = \frac{2\pi \text{ rad}}{(5/2)\pi \text{ rad/m}} = \frac{4}{5} \text{ m} = 0,8 \text{ m}

• Velocidad de propagación ( $v$ ):

v = \frac{\omega}{k}

v = \frac{5\pi \text{ rad/s}}{(5/2)\pi \text{ rad/m}} = 2 \text{ m/s}

b) ii) La velocidad de oscilación de un punto del medio se obtiene derivando la ecuación de la onda respecto al tiempo.

v_y(x,t) = \frac{\partial y(x,t)}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left( 0,1 \cdot \text{sen}[5\pi t - (5/2)\pi x + \pi/2] \right)

v_y(x,t) = 0,1 \cdot (5\pi) \cdot \text{cos}[5\pi t - (5/2)\pi x + \pi/2]

v_y(x,t) = 0,5\pi \cdot \text{cos}[5\pi t - (5/2)\pi x + \pi/2] \text{ (S.I.)}

Ahora, sustituimos los valores $x = 2\text{ m}$ y $t = 1\text{ s}$ en la expresión de la velocidad de oscilación:

v_y(2,1) = 0,5\pi \cdot \text{cos}[5\pi (1) - (5/2)\pi (2) + \pi/2]

v_y(2,1) = 0,5\pi \cdot \text{cos}[5\pi - 5\pi + \pi/2]

v_y(2,1) = 0,5\pi \cdot \text{cos}[\pi/2]

Dado que $\text{cos}(\pi/2) = 0$ :

v_y(2,1) = 0,5\pi \cdot 0 = 0 \text{ m/s}