Consideremos un campo gravitatorio constante y uniforme, donde la aceleración de la gravedad es $\vec{g}$. La fuerza gravitatoria sobre una partícula de masa $m$ es $\vec{F}_g = m\vec{g}$. Esta fuerza es conservativa.La variación de la energía potencial gravitatoria $\Delta U_g$ está relacionada con el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria $W_g$ mediante la expresión $\Delta U_g = -W_g$. También podemos expresarla como $U_g = mgh$, donde $h$ es la altura de la partícula, medida en sentido contrario al campo gravitatorio. Si consideramos que el campo gravitatorio apunta hacia abajo (dirección $-y$), entonces $h$ es la coordenada $y$.Primera parte: "Si la partícula se mueve en la dirección y sentido del campo su energía potencial aumenta".Si la partícula se mueve en la dirección y sentido del campo (es decir, hacia abajo, en la dirección de $\vec{g}$), su altura $h$ disminuye. Dado que $U_g = mgh$, una disminución de $h$ implica una disminución de la energía potencial $U_g$ (ya que $m$ y $g$ son positivos). Por lo tanto, esta afirmación es FALSA.Segunda parte: "y si lo hace perpendicularmente no varía".Si la partícula se mueve perpendicularmente al campo gravitatorio (es decir, en un plano horizontal), su altura $h$ no cambia. Como $U_g = mgh$, si $h$ no varía, la energía potencial $U_g$ tampoco varía. Por lo tanto, esta afirmación es VERDADERA.Conclusión para a) i): La primera parte de la afirmación es falsa y la segunda parte es verdadera.

En un campo gravitatorio donde la única fuerza que actúa es la fuerza gravitatoria (que es conservativa), la energía mecánica total de la partícula ($E_m = E_k + U_g$) se conserva. Es decir, $\Delta E_m = \Delta E_k + \Delta U_g = 0$, lo que implica que $\Delta E_k = -\Delta U_g$. Si la energía potencial cambia, la energía cinética debe cambiar en sentido opuesto para que la energía mecánica se conserve.Primer caso (movimiento en la dirección y sentido del campo):Como se discutió en el apartado a) i), cuando la partícula se mueve en la dirección y sentido del campo (hacia abajo), su energía potencial $U_g$ disminuye ($\Delta U_g < 0$). Para que la energía mecánica se conserve, la energía cinética $E_k$ debe aumentar ($\Delta E_k > 0$). Por lo tanto, en este caso, la energía cinética SÍ cambia.Segundo caso (movimiento perpendicular al campo):Como se discutió en el apartado a) i), cuando la partícula se mueve perpendicularmente al campo, su energía potencial $U_g$ no varía ($\Delta U_g = 0$). Para que la energía mecánica se conserve, la energía cinética $E_k$ tampoco debe variar ($\Delta E_k = 0$). Por lo tanto, en este caso, la energía cinética NO cambia.Conclusión para a) ii): La afirmación "En ambos casos la energía cinética no cambia" es FALSA, ya que en el primer caso la energía cinética sí cambia (aumenta).