T6: Teoría de muestras · Intervalos de confianza para la media — MATEMATICA APLICADAS A LAS CIENCIA SOCIALES II PEvAU Andalucía 2024

Intervalos de confianza para la media

Problema

2024 · Ordinaria · Suplente

Un atleta obtiene los siguientes tiempos, en minutos, de 10 repeticiones cronometradas de una prueba:2.71 3.84 3.26 2.28 2.86 3.08 3.07 2.46 2.54 2.58 Por experiencias anteriores se sabe que el tiempo en cada repetición sigue una ley Normal de media desconocida y desviación típica 0.36 minutos.

a) Calcule un intervalo de confianza para el tiempo medio de estas repeticiones con un 93.5% de confianza.b) ¿Cuántas repeticiones como mínimo se tendrán que cronometrar si se quiere obtener un error en la estimación del tiempo medio inferior a 0.05 minutos manteniendo el mismo nivel de confianza?

Inferencia estadísticaIntervalo de confianzaMedia poblacional+1

Datos proporcionados:

\text{Muestra de tiempos } (n=10): 2.71, 3.84, 3.26, 2.28, 2.86, 3.08, 3.07, 2.46, 2.54, 2.58

\text{Desviación típica poblacional } (\sigma) = 0.36 \text{ minutos}

Primero, calculamos la media muestral $\bar{x}$ de los tiempos dados:

\bar{x} = \frac{2.71 + 3.84 + 3.26 + 2.28 + 2.86 + 3.08 + 3.07 + 2.46 + 2.54 + 2.58}{10} = \frac{28.68}{10} = 2.868 \text{ minutos}

a) Calcule un intervalo de confianza para el tiempo medio de estas repeticiones con un 93.5% de confianza.

El nivel de confianza es del 93.5%, lo que significa que $1 - \alpha = 0.935$ . Por lo tanto, $\alpha = 1 - 0.935 = 0.065$ , y $\alpha/2 = 0.0325$ . Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0.0325 = 0.9675$ .Consultando la tabla de la distribución normal estándar o usando una calculadora, encontramos que $z_{0.0325} \approx 1.84$ .El intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$ con $\sigma$ conocida viene dado por la fórmula:

IC = \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Sustituyendo los valores:

IC = 2.868 \pm 1.84 \frac{0.36}{\sqrt{10}}

IC = 2.868 \pm 1.84 \frac{0.36}{3.162277}

IC = 2.868 \pm 1.84 \cdot 0.1138407

IC = 2.868 \pm 0.20946

IC = (2.868 - 0.20946, 2.868 + 0.20946)

IC = (2.65854, 3.07746)

El intervalo de confianza para el tiempo medio de estas repeticiones con un 93.5% de confianza es $(2.66, 3.08)$ minutos (redondeado a dos decimales).

b) ¿Cuántas repeticiones como mínimo se tendrán que cronometrar si se quiere obtener un error en la estimación del tiempo medio inferior a 0.05 minutos manteniendo el mismo nivel de confianza?

El error máximo permitido (E) es de 0.05 minutos.La desviación típica poblacional $\sigma = 0.36$ minutos.El nivel de confianza es el mismo, por lo tanto, $z_{\alpha/2} = 1.84$ .La fórmula para el tamaño de la muestra (n) para un error dado es:

n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2

Sustituyendo los valores:

n = \left( \frac{1.84 \cdot 0.36}{0.05} \right)^2

n = \left( \frac{0.6624}{0.05} \right)^2

n = (13.248)^2

n = 175.490064

Dado que el número de repeticiones debe ser un número entero y se requiere que el error sea inferior a 0.05, debemos redondear al siguiente entero superior.Por lo tanto, se necesitarán 176 repeticiones como mínimo.