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T5: Integrales
Cálculo de áreas
Problema
2020 · Extraordinaria · Suplente
6
Examen

Considera las funciones f,g:R→Rf, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definidas por f(x)=−4x+2f(x) = -4x + 2 y g(x)=−x2+2x+cg(x) = -x^2 + 2x + c.

a) Halla el valor de cc sabiendo que sus gráficas se cortan en el punto en el que gg alcanza su máximo.b) Para c=−3c = -3, calcula el área de la región limitada por ambas gráficas.
ÁreasMáximosIntegración
a) Halla el valor de cc sabiendo que sus gráficas se cortan en el punto en el que gg alcanza su máximo.

Para hallar el máximo de la función g(x)=−x2+2x+cg(x) = -x^2 + 2x + c, calculamos la primera derivada y la igualamos a cero:

g′(x)=−2x+2g'(x) = -2x + 2
−2x+2=0  ⟹  x=1-2x + 2 = 0 \implies x = 1

La coordenada yy del máximo es g(1)g(1):

g(1)=−(1)2+2(1)+c=−1+2+c=1+cg(1) = -(1)^2 + 2(1) + c = -1 + 2 + c = 1 + c

El punto donde gg alcanza su máximo es (1,1+c)(1, 1+c). Como las gráficas de f(x)f(x) y g(x)g(x) se cortan en este punto, el punto (1,1+c)(1, 1+c) debe satisfacer también la ecuación de f(x)=−4x+2f(x) = -4x + 2:

1+c=−4(1)+21 + c = -4(1) + 2
1+c=−4+21 + c = -4 + 2
1+c=−21 + c = -2
c=−3c = -3
b) Para c=−3c = -3, calcula el área de la región limitada por ambas gráficas.

Para c=−3c = -3, las funciones son f(x)=−4x+2f(x) = -4x + 2 y g(x)=−x2+2x−3g(x) = -x^2 + 2x - 3. Primero, encontramos los puntos de intersección igualando ambas funciones:

−4x+2=−x2+2x−3-4x + 2 = -x^2 + 2x - 3
x2−6x+5=0x^2 - 6x + 5 = 0

Resolvemos la ecuación cuadrática:

x=−(−6)±(−6)2−4(1)(5)2(1)=6±36−202=6±162=6±42x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(5)}}{2(1)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}
x1=6−42=1x_1 = \frac{6 - 4}{2} = 1
x2=6+42=5x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5

Los puntos de intersección son x=1x=1 y x=5x=5. Para determinar qué función está por encima de la otra en el intervalo [1,5][1, 5], podemos probar con un valor intermedio, por ejemplo x=2x=2:

f(2)=−4(2)+2=−8+2=−6f(2) = -4(2) + 2 = -8 + 2 = -6
g(2)=−(2)2+2(2)−3=−4+4−3=−3g(2) = -(2)^2 + 2(2) - 3 = -4 + 4 - 3 = -3

Dado que g(2)=−3>f(2)=−6g(2) = -3 > f(2) = -6, la función g(x)g(x) está por encima de f(x)f(x) en el intervalo [1,5][1, 5]. El área de la región limitada se calcula mediante la integral definida:

A=∫15(g(x)−f(x))dxA = \int_{1}^{5} (g(x) - f(x)) dx
A=∫15((−x2+2x−3)−(−4x+2))dxA = \int_{1}^{5} ((-x^2 + 2x - 3) - (-4x + 2)) dx
A=∫15(−x2+2x−3+4x−2)dxA = \int_{1}^{5} (-x^2 + 2x - 3 + 4x - 2) dx
A=∫15(−x2+6x−5)dxA = \int_{1}^{5} (-x^2 + 6x - 5) dx

Calculamos la integral:

A=[−x33+3x2−5x]15A = \left[ -\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 5x \right]_{1}^{5}
A=(−533+3(5)2−5(5))−(−133+3(1)2−5(1))A = \left( -\frac{5^3}{3} + 3(5)^2 - 5(5) \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + 3(1)^2 - 5(1) \right)
A=(−1253+75−25)−(−13+3−5)A = \left( -\frac{125}{3} + 75 - 25 \right) - \left( -\frac{1}{3} + 3 - 5 \right)
A=(−1253+50)−(−13−2)A = \left( -\frac{125}{3} + 50 \right) - \left( -\frac{1}{3} - 2 \right)
A=(−125+1503)−(−1−63)A = \left( \frac{-125 + 150}{3} \right) - \left( \frac{-1 - 6}{3} \right)
A=253−(−73)A = \frac{25}{3} - \left( -\frac{7}{3} \right)
A=253+73=323A = \frac{25}{3} + \frac{7}{3} = \frac{32}{3}