T2: Interacción electromagnética

Inducción electromagnética

Problema

2021 · Ordinaria · Titular

B1-b

b) Una espira circular de

5 \text{ cm}

de radio gira alrededor de uno de sus diámetros con una velocidad angular igual a

\pi \text{ rad} \cdot \text{s}^{-1}

en una región del espacio en la que existe un campo magnético uniforme de módulo igual a

10 \text{ T}

, perpendicular al eje de giro. Sabiendo que en el instante inicial el flujo es máximo:i) Calcule razonadamente, ayudándose de un esquema, la expresión del flujo magnético en función del tiempo.ii) Calcule razonadamente el valor de la fuerza electromotriz inducida en el instante

t = 50 \text{ s}

Flujo magnéticoFuerza electromotrizEspira giratoria

i) Calcule razonadamente, ayudándose de un esquema, la expresión del flujo magnético en función del tiempo.

El flujo magnético ( $\Phi_B$ ) a través de una espira se define como el producto escalar del vector campo magnético ( $\vec{B}$ ) y el vector superficie ( $\vec{A}$ ), es decir, $\Phi_B = \vec{B} \cdot \vec{A} = B A \cos \theta$ , donde $B$ es el módulo del campo magnético, $A$ es el área de la espira, y $\theta$ es el ángulo entre el vector campo magnético y el vector normal a la superficie de la espira.Para un esquema del sistema, imagine un campo magnético uniforme $\vec{B}$ dirigido, por ejemplo, horizontalmente. La espira circular gira alrededor de un diámetro que es perpendicular a este campo. Esto significa que el eje de giro es perpendicular al campo magnético. El vector superficie $\vec{A}$ de la espira, que es perpendicular al plano de la espira, rota con ella. El ángulo $\theta$ entre $\vec{B}$ y $\vec{A}$ cambia con el tiempo. En el instante inicial ( $t=0$ ), el flujo es máximo, lo que implica que el vector $\vec{A}$ es paralelo a $\vec{B}$ , es decir, $\theta_0 = 0^\circ$ o $0 \text{ rad}$ .Datos:Radio de la espira: $r = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$ Velocidad angular: $\omega = \pi \text{ rad} \cdot \text{s}^{-1}$ Módulo del campo magnético: $B = 10 \text{ T}$ Área de la espira:

A = \pi r^2 = \pi (0.05 \text{ m})^2 = 0.0025\pi \text{ m}^2

Dado que la espira gira con velocidad angular constante, el ángulo $\theta$ en función del tiempo es $\theta(t) = \omega t + \theta_0$ . Como el flujo es máximo en $t=0$ , $\theta_0 = 0 \text{ rad}$ . Por lo tanto, $\theta(t) = \omega t = \pi t$ .Expresión del flujo magnético en función del tiempo:

\Phi_B(t) = B A \cos(\omega t)

\Phi_B(t) = (10 \text{ T}) (0.0025\pi \text{ m}^2) \cos(\pi t)

\Phi_B(t) = 0.025\pi^2 \cos(\pi t) \text{ Wb}

ii) Calcule razonadamente el valor de la fuerza electromotriz inducida en el instante

t = 50 \text{ s}

Según la Ley de Faraday-Lenz, la fuerza electromotriz (fem) inducida ( $\mathcal{E}$ ) en la espira es la derivada temporal negativa del flujo magnético:

\mathcal{E}(t) = - \frac{d\Phi_B}{dt}

Derivamos la expresión del flujo obtenida en el apartado anterior:

\frac{d\Phi_B}{dt} = \frac{d}{dt} (0.025\pi^2 \cos(\pi t))

\frac{d\Phi_B}{dt} = 0.025\pi^2 (- \sin(\pi t)) \cdot \pi

\frac{d\Phi_B}{dt} = -0.025\pi^3 \sin(\pi t)

Ahora, sustituimos esta expresión en la Ley de Faraday-Lenz:

\mathcal{E}(t) = - (-0.025\pi^3 \sin(\pi t))

\mathcal{E}(t) = 0.025\pi^3 \sin(\pi t)

Para calcular el valor de la fuerza electromotriz inducida en el instante $t = 50 \text{ s}$ :

\mathcal{E}(50 \text{ s}) = 0.025\pi^3 \sin(\pi \cdot 50)

Sabiendo que el seno de cualquier múltiplo entero de $\pi$ es cero ( $\sin(n\pi) = 0$ para $n$ entero):

\mathcal{E}(50 \text{ s}) = 0.025\pi^3 \cdot 0

\mathcal{E}(50 \text{ s}) = 0 \text{ V}