T1: Interacción gravitatoria

Energía en el campo gravitatorio

Teoría

2021 · Ordinaria · Titular

A1-a

a) Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba desde una altura

h

con una energía cinética igual a la potencial en dicho punto, tomando como origen de energía potencial el suelo. Explique razonadamente, utilizando consideraciones energéticas:i) La relación entre la altura inicial y la altura máxima que alcanza el cuerpo.ii) La relación entre la velocidad inicial y la velocidad con la que llega al suelo.

Energía cinéticaEnergía potencialConservación de la energía

a) En primer lugar, se establecen las condiciones iniciales del sistema. El cuerpo es lanzado desde una altura

h

con una energía cinética

E_c

igual a su energía potencial

E_p

en ese punto. Tomando el origen de energía potencial en el suelo, la energía potencial inicial es

E_{p,h} = mgh

, donde

m

es la masa del cuerpo y

g

la aceleración de la gravedad. La energía cinética inicial es

E_{c,h} = \frac{1}{2}mv_0^2

, siendo

v_0

la velocidad inicial. Según el enunciado,

E_{c,h} = E_{p,h}

\frac{1}{2}mv_0^2 = mgh

De esta igualdad, podemos deducir la relación entre la velocidad inicial y la altura inicial:

v_0^2 = 2gh \quad (1)

La energía mecánica total inicial en la altura $h$ es la suma de la energía cinética y potencial en ese punto:

E_{M,h} = E_{c,h} + E_{p,h} = mgh + mgh = 2mgh \quad (2)

Suponiendo que no hay rozamiento con el aire, la energía mecánica del cuerpo se conserva durante todo su movimiento.

i) Para determinar la relación entre la altura inicial

h

y la altura máxima

H_{max}

que alcanza el cuerpo, consideramos el punto de máxima altura. En este punto, la velocidad del cuerpo es cero (

v = 0

), por lo que su energía cinética es nula (

E_{c,max} = 0

). Toda la energía mecánica se transforma en energía potencial gravitatoria:

E_{M,max} = E_{p,max} = mgH_{max}

Aplicando el principio de conservación de la energía mecánica entre la altura inicial $h$ y la altura máxima $H_{max}$ :

E_{M,h} = E_{M,max}

2mgh = mgH_{max}

Simplificando $mg$ a ambos lados de la ecuación, obtenemos:

H_{max} = 2h

La altura máxima que alcanza el cuerpo es el doble de su altura inicial.

ii) Para determinar la relación entre la velocidad inicial

v_0

y la velocidad con la que llega al suelo

v_f

, consideramos el momento en que el cuerpo llega al suelo. En este punto, la altura es

y=0

, por lo que su energía potencial es nula (

E_{p,suelo} = 0

). Toda la energía mecánica se transforma en energía cinética:

E_{M,suelo} = E_{c,suelo} = \frac{1}{2}mv_f^2

Aplicando el principio de conservación de la energía mecánica entre la altura inicial $h$ y el suelo:

E_{M,h} = E_{M,suelo}

2mgh = \frac{1}{2}mv_f^2

Despejando $v_f^2$ y simplificando $m$ :

v_f^2 = 4gh

De la ecuación (1) sabemos que $2gh = v_0^2$ . Sustituyendo esta expresión en la ecuación para $v_f^2$ :

v_f^2 = 2(2gh) = 2v_0^2

Tomando la raíz cuadrada para hallar la magnitud de la velocidad final:

v_f = \sqrt{2}v_0

La velocidad con la que el cuerpo llega al suelo es $\sqrt{2}$ veces su velocidad inicial.