T6: Física nuclear · Radiactividad — FISICA PEvAU Andalucía 2018

Radiactividad

Problema

2018 · Ordinaria · Suplente

4A-b

b) Se ha producido un derrame de

\ce{^{131}Ba}

en un laboratorio de radioquímica. La actividad de la masa derramada es de

1,85 \cdot 10^{16} \text{ Bq}

. Sabiendo que su periodo de semidesintegración es de

7,97

días, determine la masa que se ha derramado, así como el tiempo que debe transcurrir para que el nivel de radiación descienda hasta

1,85 \cdot 10^{13} \text{ Bq}

Datos: $1 \text{ u} = 1,67 \cdot 10^{-27} \text{ kg}$ ; $m(\ce{^{131}Ba}) = 130,906941 \text{ u}$

Actividad radiactivaPeriodo de semidesintegración

b) Determinación de la masa derramada y el tiempo para reducir la actividad.

Datos del problema

Actividad inicial: $A_0 = 1{,}85 \cdot 10^{16} \text{ Bq}$ Periodo de semidesintegración: $T_{1/2} = 7{,}97 \text{ días} = 7{,}97 \times 86400 \text{ s} = 6{,}884 \cdot 10^{5} \text{ s}$ Masa atómica: $m(\ce{^{131}Ba}) = 130{,}906941 \text{ u}$

Parte 1: Cálculo de la masa derramada

La actividad se relaciona con el número de núcleos $N$ mediante la expresión:

A = \lambda \cdot N = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} \cdot N

Calculamos la constante de desintegración $\lambda$ :

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}6931}{6{,}884 \cdot 10^{5} \text{ s}} = 1{,}007 \cdot 10^{-6} \text{ s}^{-1}

Despejamos el número de núcleos $N$ :

N = \frac{A}{\lambda} = \frac{1{,}85 \cdot 10^{16}}{1{,}007 \cdot 10^{-6}} = 1{,}837 \cdot 10^{22} \text{ núcleos}

La masa de cada núcleo de $\ce{^{131}Ba}$ es:

m_{\text{nucleo}} = 130{,}906941 \text{ u} \times 1{,}67 \cdot 10^{-27} \text{ kg/u} = 2{,}1861 \cdot 10^{-25} \text{ kg}

La masa total derramada es:

m = N \cdot m_{\text{nucleo}} = 1{,}837 \cdot 10^{22} \times 2{,}1861 \cdot 10^{-25} \text{ kg}

m = 4{,}016 \cdot 10^{-3} \text{ kg} \approx 4{,}02 \text{ g}

Parte 2: Tiempo para reducir la actividad hasta $1{,}85 \cdot 10^{13}$ Bq

La actividad varía con el tiempo según la ley de desintegración radiactiva:

A(t) = A_0 \cdot e^{-\lambda t}

Despejamos $t$ :

t = \frac{1}{\lambda} \ln\left(\frac{A_0}{A(t)}\right) = \frac{T_{1/2}}{\ln 2} \ln\left(\frac{A_0}{A(t)}\right)

Calculamos el cociente de actividades:

\frac{A_0}{A(t)} = \frac{1{,}85 \cdot 10^{16}}{1{,}85 \cdot 10^{13}} = 10^{3} = 1000

Sustituimos los valores:

t = \frac{6{,}884 \cdot 10^{5}}{0{,}6931} \cdot \ln(1000) = 9{,}934 \cdot 10^{5} \times 6{,}9078

t = 6{,}864 \cdot 10^{6} \text{ s}

Convertimos a días:

t = \frac{6{,}864 \cdot 10^{6}}{86400} \approx 79{,}4 \text{ días}

Este resultado es coherente: la actividad se reduce a la mitad cada $T_{1/2} = 7{,}97$ días, por lo que necesitamos $\log_2(1000) \approx 9{,}97$ semividas, lo que equivale a $9{,}97 \times 7{,}97 \approx 79{,}4$ días. ✓

Resultados

Masa derramada: $m \approx 4{,}02 \text{ g}$ Tiempo necesario para reducir la actividad hasta $1{,}85 \cdot 10^{13}$ Bq: $t \approx 79{,}4 \text{ días}$