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T6: Física nuclear
Radiactividad
Problema
2018 · Ordinaria · Suplente
4A-b
Examen
b) Se ha producido un derrame de X131X22131Ba\ce{^{131}Ba} en un laboratorio de radioquímica. La actividad de la masa derramada es de 1,85⋅1016 Bq1,85 \cdot 10^{16} \text{ Bq}. Sabiendo que su periodo de semidesintegración es de 7,977,97 días, determine la masa que se ha derramado, así como el tiempo que debe transcurrir para que el nivel de radiación descienda hasta 1,85⋅1013 Bq1,85 \cdot 10^{13} \text{ Bq}.

Datos: 1 u=1,67⋅10−27 kg1 \text{ u} = 1,67 \cdot 10^{-27} \text{ kg}; m(X131X22131Ba)=130,906941 um(\ce{^{131}Ba}) = 130,906941 \text{ u}

Actividad radiactivaPeriodo de semidesintegración
b) Determinación de la masa derramada y el tiempo para reducir la actividad.
Datos del problema

Actividad inicial: A0=1,85⋅1016 BqA_0 = 1{,}85 \cdot 10^{16} \text{ Bq} Periodo de semidesintegración: T1/2=7,97 dıˊas=7,97×86400 s=6,884⋅105 sT_{1/2} = 7{,}97 \text{ días} = 7{,}97 \times 86400 \text{ s} = 6{,}884 \cdot 10^{5} \text{ s} Masa atómica: m(X131X22131Ba)=130,906941 um(\ce{^{131}Ba}) = 130{,}906941 \text{ u}

Parte 1: Cálculo de la masa derramada

La actividad se relaciona con el número de núcleos NN mediante la expresión:

A=λ⋅N=ln⁡2T1/2⋅NA = \lambda \cdot N = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} \cdot N

Calculamos la constante de desintegración λ\lambda:

λ=ln⁡2T1/2=0,69316,884⋅105 s=1,007⋅10−6 s−1\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}6931}{6{,}884 \cdot 10^{5} \text{ s}} = 1{,}007 \cdot 10^{-6} \text{ s}^{-1}

Despejamos el número de núcleos NN:

N=Aλ=1,85⋅10161,007⋅10−6=1,837⋅1022 nuˊcleosN = \frac{A}{\lambda} = \frac{1{,}85 \cdot 10^{16}}{1{,}007 \cdot 10^{-6}} = 1{,}837 \cdot 10^{22} \text{ núcleos}

La masa de cada núcleo de X131X22131Ba\ce{^{131}Ba} es:

mnucleo=130,906941 u×1,67⋅10−27 kg/u=2,1861⋅10−25 kgm_{\text{nucleo}} = 130{,}906941 \text{ u} \times 1{,}67 \cdot 10^{-27} \text{ kg/u} = 2{,}1861 \cdot 10^{-25} \text{ kg}

La masa total derramada es:

m=N⋅mnucleo=1,837⋅1022×2,1861⋅10−25 kgm = N \cdot m_{\text{nucleo}} = 1{,}837 \cdot 10^{22} \times 2{,}1861 \cdot 10^{-25} \text{ kg}
m=4,016⋅10−3 kg≈4,02 gm = 4{,}016 \cdot 10^{-3} \text{ kg} \approx 4{,}02 \text{ g}
Parte 2: Tiempo para reducir la actividad hasta $1{,}85 \cdot 10^{13}$ Bq

La actividad varía con el tiempo según la ley de desintegración radiactiva:

A(t)=A0⋅e−λtA(t) = A_0 \cdot e^{-\lambda t}

Despejamos tt:

t=1λln⁡(A0A(t))=T1/2ln⁡2ln⁡(A0A(t))t = \frac{1}{\lambda} \ln\left(\frac{A_0}{A(t)}\right) = \frac{T_{1/2}}{\ln 2} \ln\left(\frac{A_0}{A(t)}\right)

Calculamos el cociente de actividades:

A0A(t)=1,85⋅10161,85⋅1013=103=1000\frac{A_0}{A(t)} = \frac{1{,}85 \cdot 10^{16}}{1{,}85 \cdot 10^{13}} = 10^{3} = 1000

Sustituimos los valores:

t=6,884⋅1050,6931⋅ln⁡(1000)=9,934⋅105×6,9078t = \frac{6{,}884 \cdot 10^{5}}{0{,}6931} \cdot \ln(1000) = 9{,}934 \cdot 10^{5} \times 6{,}9078
t=6,864⋅106 st = 6{,}864 \cdot 10^{6} \text{ s}

Convertimos a días:

t=6,864⋅10686400≈79,4 dıˊast = \frac{6{,}864 \cdot 10^{6}}{86400} \approx 79{,}4 \text{ días}

Este resultado es coherente: la actividad se reduce a la mitad cada T1/2=7,97T_{1/2} = 7{,}97 días, por lo que necesitamos log⁡2(1000)≈9,97\log_2(1000) \approx 9{,}97 semividas, lo que equivale a 9,97×7,97≈79,49{,}97 \times 7{,}97 \approx 79{,}4 días. ✓

Resultados

Masa derramada: m≈4,02 gm \approx 4{,}02 \text{ g} Tiempo necesario para reducir la actividad hasta 1,85⋅10131{,}85 \cdot 10^{13} Bq: t≈79,4 dıˊast \approx 79{,}4 \text{ días}