T4: Funciones · Propiedades de las funciones — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2020

Propiedades de las funciones

Problema

2020 · Extraordinaria · Reserva

Se sabe que la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx - 1$ , tiene un punto crítico en $x = 2$ y que la recta normal a su gráfica en el punto de abscisa $x = 1$ es $y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$ . Calcula $a, b$ y $c$ .

DerivadasRecta normalPunto crítico

La función dada es $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx - 1$ . Para trabajar con las condiciones dadas, primero calculamos su primera derivada:

f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c

1. La función tiene un punto crítico en

x = 2

. Esto implica que la primera derivada en

x = 2

es cero, es decir,

f'(2) = 0

3a(2)^2 + 2b(2) + c = 0 \\ 12a + 4b + c = 0 \quad \text{(Ecuación 1)}

2. La recta normal a la gráfica en el punto de abscisa

x = 1

y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}

La pendiente de la recta normal en $x=1$ es $m_n = \frac{1}{2}$ . La pendiente de la recta tangente, $m_t$ , cumple que $m_t \cdot m_n = -1$ . Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente en $x = 1$ es $f'(1) = -\frac{1}{m_n} = -\frac{1}{1/2} = -2$ .

3a(1)^2 + 2b(1) + c = -2 \\ 3a + 2b + c = -2 \quad \text{(Ecuación 2)}

Además, el punto de la gráfica con abscisa $x = 1$ también pertenece a la recta normal. Calculamos su ordenada $y$ usando la ecuación de la recta normal:

y = \frac{1}{2}(1) + \frac{3}{2} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{4}{2} = 2

Así, la función pasa por el punto $(1, 2)$ , lo que significa $f(1) = 2$ .

a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) - 1 = 2 \\ a + b + c - 1 = 2 \\ a + b + c = 3 \quad \text{(Ecuación 3)}

Tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas $a, b, c$ :

\begin{cases} 12a + 4b + c = 0 \quad (1) \\ 3a + 2b + c = -2 \quad (2) \\ a + b + c = 3 \quad (3) \end{cases}

Restamos la Ecuación (3) de la Ecuación (2):

(3a + 2b + c) - (a + b + c) = -2 - 3 \\ 2a + b = -5 \quad \text{(Ecuación 4)}

Restamos la Ecuación (3) de la Ecuación (1):

(12a + 4b + c) - (a + b + c) = 0 - 3 \\ 11a + 3b = -3 \quad \text{(Ecuación 5)}

De la Ecuación (4), despejamos $b$ : $b = -5 - 2a$ . Sustituimos esta expresión de $b$ en la Ecuación (5):

11a + 3(-5 - 2a) = -3 \\ 11a - 15 - 6a = -3 \\ 5a - 15 = -3 \\ 5a = 12 \\ a = \frac{12}{5}

Sustituimos el valor de $a$ en la expresión de $b$ :

b = -5 - 2\left(\frac{12}{5}\right) = -5 - \frac{24}{5} = -\frac{25}{5} - \frac{24}{5} = -\frac{49}{5}

Finalmente, sustituimos los valores de $a$ y $b$ en la Ecuación (3) para encontrar $c$ :

\frac{12}{5} + \left(-\frac{49}{5}\right) + c = 3 \\ \frac{12 - 49}{5} + c = 3 \\ -\frac{37}{5} + c = 3 \\ c = 3 + \frac{37}{5} = \frac{15}{5} + \frac{37}{5} = \frac{52}{5}

Los valores de las constantes son:

a = \frac{12}{5}, \quad b = -\frac{49}{5}, \quad c = \frac{52}{5}