T6: Física nuclear · Ley de desintegración radiactiva

Ley de desintegración radiactiva

Problema

2021 · Ordinaria · Reserva

D.2-b

b) El periodo de semidesintegración del

^{226}\ce{Ra}

es de

1602

años. Si se posee una muestra de

240 \text{ mg}

, determine: i) La masa de dicho isótopo que queda sin desintegrar al cabo de

350

años. ii) El tiempo que se requiere para que su actividad se reduzca a la sexta parte.

Periodo de semidesintegraciónActividad radiactivaIsótopo

b) Para resolver este apartado, primero calculamos la constante de desintegración (

\lambda

) a partir del periodo de semidesintegración (

T_{1/2}

). Después, utilizaremos la ley de desintegración radiactiva para la masa y para la actividad.

T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}

Despejamos $\lambda$ y sustituimos el valor del periodo de semidesintegración:

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{1602 \text{ años}} = 4.3267 \times 10^{-4} \text{ años}^{-1}

i) La masa de dicho isótopo que queda sin desintegrar al cabo de

350

años.

Utilizamos la ley de desintegración radiactiva para la masa:

m(t) = m_0 e^{-\lambda t}

Donde $m_0 = 240 \text{ mg}$ es la masa inicial, $\lambda = 4.3267 \times 10^{-4} \text{ años}^{-1}$ es la constante de desintegración y $t = 350 \text{ años}$ es el tiempo transcurrido.

m(350) = 240 \text{ mg} \cdot e^{-(4.3267 \times 10^{-4} \text{ años}^{-1} \cdot 350 \text{ años})}

m(350) = 240 \text{ mg} \cdot e^{-0.1514345}

m(350) = 240 \text{ mg} \cdot 0.85942 \approx 206.26 \text{ mg}

ii) El tiempo que se requiere para que su actividad se reduzca a la sexta parte.

La actividad $A(t)$ de una muestra radiactiva sigue la misma ley de desintegración que la masa:

A(t) = A_0 e^{-\lambda t}

Si la actividad se reduce a la sexta parte, entonces $A(t) = \frac{A_0}{6}$ . Sustituimos este valor en la ecuación:

\frac{A_0}{6} = A_0 e^{-\lambda t}

Simplificamos $A_0$ y despejamos $t$ :

\frac{1}{6} = e^{-\lambda t}

Aplicamos logaritmo natural a ambos lados:

\ln\left(\frac{1}{6}\right) = -\lambda t

-\ln(6) = -\lambda t

t = \frac{\ln(6)}{\lambda}

Sustituimos el valor de $\lambda$ :

t = \frac{\ln(6)}{4.3267 \times 10^{-4} \text{ años}^{-1}} = \frac{1.791759}{4.3267 \times 10^{-4} \text{ años}^{-1}} \approx 4141.4 \text{ años}