T3: Vibraciones y ondas

Propagación de ondas

Teoría

2022 · Ordinaria · Suplente

C1-a

a) Una onda armónica cambia de un medio a otro donde su longitud de onda es el doble a la del medio anterior, manteniendo su amplitud constante. Justifique la relación entre: i) las velocidades de propagación de la onda en ambos medios y ii) la velocidad máxima de oscilación en ambos medios.

Longitud de ondaVelocidad de propagaciónCambio de medio

a) Una onda armónica se caracteriza por su amplitud (

A

), su frecuencia (

f

), su longitud de onda (

\lambda

) y su velocidad de propagación (

v

). Cuando una onda cambia de medio, su frecuencia se mantiene constante, ya que es una característica de la fuente que la genera. Sin embargo, su velocidad de propagación y su longitud de onda pueden cambiar.i) Relación entre las velocidades de propagación de la onda en ambos medios.

La velocidad de propagación de una onda se relaciona con su longitud de onda y su frecuencia mediante la expresión:

v = \lambda f

Sea $v_1$ y $\lambda_1$ la velocidad de propagación y la longitud de onda en el primer medio, y $v_2$ y $\lambda_2$ en el segundo medio. Dado que la frecuencia $f$ es constante para ambos medios, tenemos:

v_1 = \lambda_1 f \quad (1)

v_2 = \lambda_2 f \quad (2)

El enunciado establece que la longitud de onda en el segundo medio es el doble que en el primero:

\lambda_2 = 2\lambda_1

Sustituyendo esta relación en la ecuación (2):

v_2 = (2\lambda_1) f

Comparando con la ecuación (1), podemos ver que:

v_2 = 2 (\lambda_1 f) = 2v_1

Por lo tanto, la velocidad de propagación de la onda en el segundo medio es el doble que en el primer medio.

ii) Relación entre la velocidad máxima de oscilación en ambos medios.

La velocidad de oscilación de una partícula en el medio por donde se propaga una onda armónica se describe como la derivada de su desplazamiento respecto al tiempo. Para un desplazamiento $y(x,t) = A\cos(kx - \omega t + \phi)$ , la velocidad de oscilación es:

v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = A\omega \sin(kx - \omega t + \phi)

La velocidad máxima de oscilación ( $v_{max}$ ) de las partículas del medio es el valor máximo de esta expresión, que se da cuando el seno vale 1:

v_{max} = A\omega

Donde $A$ es la amplitud de la onda y $\omega$ es la frecuencia angular, relacionada con la frecuencia $f$ por $\omega = 2\pi f$ . Sustituyendo esto en la expresión de la velocidad máxima:

v_{max} = A (2\pi f)

Según el enunciado, la amplitud ( $A$ ) se mantiene constante en ambos medios ( $A_1 = A_2 = A$ ), y como se ha mencionado anteriormente, la frecuencia ( $f$ ) también se mantiene constante ( $f_1 = f_2 = f$ ). Por lo tanto, la velocidad máxima de oscilación en el primer medio ( $v_{max,1}$ ) y en el segundo medio ( $v_{max,2}$ ) son:

v_{max,1} = A_1 (2\pi f_1) = A (2\pi f)

v_{max,2} = A_2 (2\pi f_2) = A (2\pi f)

Concluyendo que:

v_{max,1} = v_{max,2}

Así, la velocidad máxima de oscilación de las partículas del medio es la misma en ambos medios, ya que depende únicamente de la amplitud y la frecuencia de la onda, las cuales se mantienen constantes.