T3: Programación lineal · Optimización — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2021

Optimización

Problema

2021 · Ordinaria · Titular

Una empresa de recambios industriales produce dos tipos de baterías, $A$ y $B$ . Su producción semanal debe ser de al menos 10 baterías en total y el número de baterías de tipo $B$ no puede superar en más de 10 unidades a las fabricadas de tipo $A$ . Cada batería de tipo $A$ tiene unos gastos de producción de 150 euros y cada batería de tipo $B$ de 100 euros, disponiendo de un máximo de 6000 euros a la semana para el coste total de producción.Si la empresa vende todo lo que produce y cada batería de tipo $A$ genera un beneficio de 130 euros y la de tipo $B$ de 140 euros, ¿cuántas baterías de cada tipo tendrán que producir a la semana para que el beneficio total sea máximo? ¿Cuál es ese beneficio?

Programación linealOptimizaciónMaximización

Definición de variables

En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema:

x

: número de baterías de tipo

A

fabricadas semanalmente.

y

: número de baterías de tipo

B

fabricadas semanalmente.

Función objetivo y restricciones

Queremos maximizar el beneficio total, definido por la función:

f(x, y) = 130x + 140y

Sujeto a las siguientes restricciones basadas en el enunciado:

Producción mínima total:

x + y \geq 10

Relación entre tipos de baterías:

y \leq x + 10 \implies -x + y \leq 10

Coste máximo de producción:

150x + 100y \leq 6000 \implies 3x + 2y \leq 120

Condiciones de no negatividad:

x \geq 0, y \geq 0

Determinación de la región factible y vértices

La región factible es el polígono delimitado por las rectas anteriores. Calculamos los vértices resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes a las intersecciones de las rectas de restricción:

V_1

: Intersección de

x + y = 10

con el eje

y

(

x = 0

(0, 10)

V_2

: Intersección de

x + y = 10

con el eje

x

(

y = 0

(10, 0)

V_3

: Intersección de

3x + 2y = 120

con el eje

x

(

y = 0

(40, 0)

V_4

: Intersección de

-x + y = 10

3x + 2y = 120

\begin{cases} y = x + 10 \\ 3x + 2(x + 10) = 120 \end{cases} \implies 5x = 100 \implies x = 20, y = 30

Cálculo del beneficio máximo

Evaluamos la función objetivo $f(x, y) = 130x + 140y$ en cada uno de los vértices de la región factible para encontrar el valor máximo:

f(0, 10) = 130(0) + 140(10) = 1400

euros.

f(10, 0) = 130(10) + 140(0) = 1300

euros.

f(40, 0) = 130(40) + 140(0) = 5200

euros.

f(20, 30) = 130(20) + 140(30) = 2600 + 4200 = 6800

euros.

Conclusión

Para maximizar el beneficio, la empresa debe producir 20 baterías de tipo $A$ y 30 baterías de tipo $B$ a la semana. El beneficio total máximo obtenido será de 6800 euros.