T1: Interacción gravitatoria

Satélites

Teoría

2021 · Ordinaria · Suplente

A.1-a

a) Un satélite orbita alrededor del planeta A, y otro satélite alrededor del planeta B. El planeta A tiene cuatro veces más masa que el planeta B. Determine la relación entre las velocidades orbitales de los dos satélites si éstos orbitan a la misma distancia del centro de cada planeta.

Velocidad orbitalGravitación universal

a) Para un satélite de masa

m

que orbita un planeta de masa

M

en una órbita circular de radio

r

, la fuerza gravitatoria proporciona la fuerza centrípeta necesaria para mantener el movimiento orbital. La expresión para la velocidad orbital

v

se obtiene igualando la fuerza gravitatoria a la fuerza centrípeta.

F_g = F_c

G \frac{M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}

Simplificando la masa del satélite $m$ y el radio $r$ , obtenemos la velocidad orbital:

v = \sqrt{G \frac{M}{r}}

Aplicamos esta expresión a los satélites que orbitan alrededor del planeta A y del planeta B.

v_A = \sqrt{G \frac{M_A}{r_A}}

v_B = \sqrt{G \frac{M_B}{r_B}}

Según el enunciado, el planeta A tiene cuatro veces más masa que el planeta B ( $M_A = 4M_B$ ), y los satélites orbitan a la misma distancia del centro de cada planeta ( $r_A = r_B = r$ ). Sustituimos estas relaciones en las expresiones de las velocidades:

v_A = \sqrt{G \frac{4M_B}{r}}

v_B = \sqrt{G \frac{M_B}{r}}

Ahora, determinamos la relación entre las velocidades orbitales $v_A$ y $v_B$ dividiendo la primera expresión por la segunda:

\frac{v_A}{v_B} = \frac{\sqrt{G \frac{4M_B}{r}}}{\sqrt{G \frac{M_B}{r}}}

\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{G \frac{4M_B}{r}}{G \frac{M_B}{r}}}

\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{4}

\frac{v_A}{v_B} = 2

Por lo tanto, la velocidad orbital del satélite alrededor del planeta A es el doble que la del satélite alrededor del planeta B.

v_A = 2v_B