Bloque 2: Geometría descriptiva

La esfera tiene su centro en O y es tangente al plano P. El radio (R) de la esfera es la verdadera magnitud de la distancia desde O hasta el plano P. El punto de tangencia T es el pie de la perpendicular desde O al plano P.Para determinar T y el radio R: a) Trazar una recta 's' que pase por O y sea perpendicular al plano P. Sus proyecciones $s'$ y $s$ serán, respectivamente, perpendiculares a las trazas $P'$ y $P$ del plano.

b) Hallar el punto de intersección T de la recta 's' con el plano P. Para ello, se puede utilizar un plano auxiliar ($\alpha$) que contenga a 's' (por ejemplo, un plano proyectante vertical). La intersección de $\alpha$ con P será una recta 'i'. El punto T será la intersección de 's' con 'i'.

c) La verdadera magnitud del segmento OT es el radio R de la esfera. Para hallarla, se construye un triángulo rectángulo. Uno de los catetos es la distancia horizontal entre $O$ y $T$ (medida en $P_1$) y el otro cateto es la diferencia de cotas entre $O$ y $T$. O bien, se toma la distancia vertical entre $O'$ y $T'$ (medida en $P_2$) como un cateto, y la diferencia de alejamientos como el otro cateto. La hipotenusa de este triángulo es el radio R.

d) La esfera se representa en ambas proyecciones como un círculo: en la proyección vertical con centro $O'$ y radio R, y en la proyección horizontal con centro $O$ y radio R.

El plano Q es paralelo a P, por lo tanto, sus trazas son paralelas a las de P.

La distancia entre P y Q es $50 \text{ mm}$. Para que Q corte la esfera, la distancia desde el centro O de la esfera al plano Q ($d(O, Q)$) debe ser menor que el radio R de la esfera. Dado que la distancia de O a P es R, el plano Q debe situarse entre O y P, de modo que la distancia $d(O, Q) = R - 50 \text{ mm}$. a) En la recta 's' (perpendicular a P y que pasa por O, hallada en el apartado 1), localizamos un punto $T_Q$ tal que la verdadera magnitud del segmento $OT_Q = R - 50 \text{ mm}$. Este punto $T_Q$ será el centro de la sección circular que Q produce en la esfera. b) Por las proyecciones $T_Q'$ y $T_Q$ de este punto, trazamos las trazas del plano Q: $Q'$ paralela a $P'$ y $Q$ paralela a $P$.

La sección que origina el plano Q en la esfera es un círculo. Su centro es el punto $T_Q$ y su radio $r_S$ se calcula por el teorema de Pitágoras, siendo R el radio de la esfera y $d(O, Q) = R - 50 \text{ mm}$ la distancia del centro de la esfera al plano Q.

Las proyecciones de esta sección son elipses (ya que el plano Q no es horizontal ni frontal). a) Proyección horizontal: El centro de la elipse es $T_Q$. El eje mayor es paralelo a $Q$ (traza horizontal de Q) y su longitud es $2r_S$. El eje menor es perpendicular a $Q$ y su longitud es $2r_S \cdot \cos(\alpha)$, donde $\alpha$ es el ángulo del plano Q con el plano horizontal de proyección. b) Proyección vertical: El centro de la elipse es $T_Q'$. El eje mayor es paralelo a $Q'$ (traza vertical de Q) y su longitud es $2r_S$. El eje menor es perpendicular a $Q'$ y su longitud es $2r_S \cdot \cos(\beta)$, donde $\beta$ es el ángulo del plano Q con el plano vertical de proyección.La verdadera magnitud de la sección es un círculo de radio $r_S$.

La recta R es una recta de punta, lo que significa que es perpendicular al plano vertical de proyección ($P_2$). Por lo tanto, su proyección vertical $r'$ es un punto, y su proyección horizontal $r$ es una línea perpendicular a la línea de tierra (LT). a) Las proyecciones verticales de los puntos de intersección X e Y ($X'$ e $Y'$) coinciden con $r'$. b) Para encontrar $X$ e $Y$ (proyecciones horizontales): Una recta de punta tiene coordenadas $(x_R, y, z_R)$, donde $x_R$ es la coordenada $x$ de la recta $r$ (constante) y $z_R$ es la coordenada $z$ de la proyección $r'$ (constante). La ecuación de la esfera es $(x-x_O)^2 + (y-y_O)^2 + (z-z_O)^2 = R^2_{esfera}$. Sustituyendo las coordenadas de R, se obtiene una ecuación para 'y':

El término entre corchetes $[(x_R-x_O)^2 + (z_R-z_O)^2]$ representa el cuadrado de la distancia $d(O', r')$ entre la proyección vertical del centro de la esfera $O'$ y la proyección vertical de la recta $r'$.Sea $d_{int} = \sqrt{R^2_{esfera} - d(O', r')^2}$. Este valor es la mitad de la cuerda que la esfera corta a la recta R en la vista de perfil.Gráficamente, en la proyección horizontal (plano $P_1$):1. Medir la distancia $d(O', r')$.2. Construir un triángulo rectángulo con hipotenusa $R_{esfera}$ y un cateto $d(O', r')$. El otro cateto será la magnitud $d_{int}$.3. En la proyección horizontal, la recta $r$ tiene una coordenada $x_R$. El centro $O$ tiene una coordenada $y_O$. Se localiza el punto sobre la recta $r$ que tiene el mismo alejamiento que $O$ (es decir, el mismo valor de $y$ que $O$). Desde este punto sobre la recta $r$, medir $d_{int}$ en ambas direcciones a lo largo de $r$. Estos puntos son $X$ e $Y$. c) Visibilidad: Dado que la esfera es opaca, la parte de la recta $r$ que se encuentra entre los puntos de intersección $X$ e $Y$ será oculta y se representará con línea discontinua. Las partes de $r$ fuera de $X$ e $Y$ serán visibles y se representarán con línea continua. La proyección $r'$ es un punto, por lo que toda la recta se ve como ese punto en la proyección vertical.

La distancia entre el punto T y la recta R (una recta de punta) se puede determinar directamente en la proyección vertical. Debido a que la recta R es perpendicular al plano vertical de proyección, la distancia en verdadera magnitud entre R y T es simplemente la distancia entre sus proyecciones verticales $r'$ y $T'$.

Esta distancia se debe medir directamente en el dibujo adjunto.

Para representar la perspectiva isométrica, primero se deben calcular las dimensiones de la pieza en las nuevas unidades de escala. Sea $u_d$ la longitud de un lado de los cuadrados de la cuadrícula en las vistas ortográficas proporcionadas.Las dimensiones totales de la pieza en las vistas ortográficas, en unidades de cuadrícula, son:

Estas dimensiones están dadas a una escala de $6:5$. Para obtener las dimensiones reales ($Mr$), aplicamos la inversa de esta escala:

Calculando las dimensiones reales:

La perspectiva isométrica debe dibujarse a una escala de $5:2$. Para obtener las dimensiones a utilizar en la perspectiva ($Mp$), aplicamos esta escala a las dimensiones reales:

Calculando las dimensiones para el dibujo isométrico:

Para la construcción, se trazan los ejes isométricos (X, Y a $30^\circ$ respecto a la horizontal, Z vertical) y se construye la pieza utilizando las dimensiones $Mp_X$, $Mp_Y$ y $Mp_Z$ como base para las longitudes de los segmentos.Las aristas ocultas se identifican a partir de las líneas discontinuas en las vistas ortográficas:

La pieza presenta un cuerpo principal en forma de 'L' en su vista superior y lateral, con diversas superficies inclinadas y un vaciado parcial cilíndrico. El dibujo final debe mostrar estas características con líneas continuas para las aristas visibles y líneas discontinuas para las ocultas.Debido a las limitaciones del formato de texto, no es posible generar la representación gráfica de la perspectiva isométrica aquí. La solución requiere una construcción gráfica detallada.

La cota C se encuentra en la vista del Alzado. Representa una altura parcial de la pieza. Observando la cuadrícula, C abarca $2$ unidades de cuadrícula ($u_d$). Es decir, la dimensión de C en el dibujo ($Md_C$) es $2 u_d$.La escala del dibujo original es $6:5$. Esto significa que la dimensión real ($Mr_C$) se calcula a partir de la dimensión en el dibujo ($Md_C$) de la siguiente manera:

Para obtener un valor numérico en milímetros, debemos medir la longitud de una unidad de cuadrícula ($u_d$) directamente de la imagen adjunta. Si se mide con una regla, el lado de un cuadrado de la cuadrícula en la imagen (por ejemplo, en una impresión o pantalla calibrada) es aproximadamente $20 \text{ mm}$.Usando $u_d = 20 \text{ mm}$:

Ahora, calculamos el valor real de C:

Finalmente, el valor de la cota C es: