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T2: Interacción electromagnética
Espectrometría de masas
Problema
2018 · Extraordinaria · Reserva
2A-b
Examen
b) Un protón que parte del reposo se acelera mediante una diferencia de potencial de 5 kV5 \text{ kV}. Seguidamente entra en una región del espacio en la que existe un campo magnético uniforme perpendicular a su velocidad. Si el radio de giro descrito por el protón es de 0,05 m0,05 \text{ m}, ¿qué valor tendrá el módulo del campo magnético? Calcule el periodo del movimiento.

Datos: e=1,6⋅10−19 Ce = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}; mp=1,7⋅10−27 kgm_p = 1,7 \cdot 10^{-27} \text{ kg}

campo magnéticoperiododiferencia de potencial+1
b) Cálculo del campo magnético y del periodo del movimiento circular del protón.
Paso 1: Velocidad del protón tras la aceleración

El protón parte del reposo y se acelera con una diferencia de potencial ΔV=5000\Delta V = 5000 V. Por el teorema trabajo-energía, la energía eléctrica se convierte en energía cinética:

e⋅ΔV=12mpv2e \cdot \Delta V = \frac{1}{2} m_p v^2

Despejando la velocidad vv:

v=2⋅e⋅ΔVmpv = \sqrt{\frac{2 \cdot e \cdot \Delta V}{m_p}}
v=2⋅(1,6⋅10−19)⋅50001,7⋅10−27=1,6⋅10−151,7⋅10−27=9,41⋅1011v = \sqrt{\frac{2 \cdot (1{,}6 \cdot 10^{-19}) \cdot 5000}{1{,}7 \cdot 10^{-27}}} = \sqrt{\frac{1{,}6 \cdot 10^{-15}}{1{,}7 \cdot 10^{-27}}} = \sqrt{9{,}41 \cdot 10^{11}}
v≈9,70⋅105 m/sv \approx 9{,}70 \cdot 10^{5} \text{ m/s}
Paso 2: Diagrama de la situación
B (entrante)⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗+vF
Paso 3: Cálculo del campo magnético

Cuando el protón entra en la región del campo magnético, la fuerza de Lorentz actúa como fuerza centrípeta, produciendo un movimiento circular uniforme:

qvB=mpv2rq v B = \frac{m_p v^2}{r}

Despejando BB:

B=mp⋅ve⋅rB = \frac{m_p \cdot v}{e \cdot r}
B=(1,7⋅10−27)⋅(9,70⋅105)(1,6⋅10−19)⋅0,05B = \frac{(1{,}7 \cdot 10^{-27}) \cdot (9{,}70 \cdot 10^{5})}{(1{,}6 \cdot 10^{-19}) \cdot 0{,}05}
B=1,649⋅10−218,0⋅10−21≈0,206 TB = \frac{1{,}649 \cdot 10^{-21}}{8{,}0 \cdot 10^{-21}} \approx 0{,}206 \text{ T}
Paso 4: Cálculo del periodo

El periodo del movimiento circular uniforme es el tiempo que tarda el protón en dar una vuelta completa. La circunferencia recorrida es 2πr2\pi r a velocidad vv:

T=2πrv=2πmpe⋅BT = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi m_p}{e \cdot B}
T=2π⋅0,059,70⋅105T = \frac{2\pi \cdot 0{,}05}{9{,}70 \cdot 10^{5}}
T=0,31429,70⋅105≈3,24⋅10−7 sT = \frac{0{,}3142}{9{,}70 \cdot 10^{5}} \approx 3{,}24 \cdot 10^{-7} \text{ s}
Resultados
Módulo del campo magnético: B≈0,206B \approx 0{,}206 TPeriodo del movimiento circular: T≈3,24⋅10−7T \approx 3{,}24 \cdot 10^{-7} s