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T3: Geometría
Posiciones relativas y ángulos
Problema
2021 · Ordinaria · Reserva
8
Examen

Considera las rectas

r≡{x=1+λy=1+λz=2+mλys≡{x−y+2z=3x+z=2r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 2 + m\lambda \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \begin{cases} x - y + 2z = 3 \\ x + z = 2 \end{cases}
a) Estudia la posición relativa de rr y ss según los valores de mm.b) Para m=1m = 1, calcula el coseno del ángulo que forman las rectas rr y ss.
Posición relativa de rectasÁngulo entre rectas

Primero, vamos a obtener las ecuaciones paramétricas y los vectores direccionales y puntos de cada recta.Para la recta rr:

r≡{x=1+λy=1+λz=2+mλr \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 2 + m\lambda \end{cases}

Un punto de la recta rr es Pr(1,1,2)P_r(1, 1, 2) y su vector director es v⃗r(1,1,m)\vec{v}_r(1, 1, m).Para la recta ss:

s≡{x−y+2z=3x+z=2s \equiv \begin{cases} x - y + 2z = 3 \\ x + z = 2 \end{cases}

De la segunda ecuación, x=2−zx = 2 - z. Sustituyendo en la primera ecuación:

(2−z)−y+2z=32+z−y=3z−y=1y=z−1(2 - z) - y + 2z = 3 \\ 2 + z - y = 3 \\ z - y = 1 \\ y = z - 1

Si hacemos z=μz = \mu, entonces x=2−μx = 2 - \mu e y=−1+μy = -1 + \mu. Las ecuaciones paramétricas de ss son:

s≡{x=2−μy=−1+μz=μs \equiv \begin{cases} x = 2 - \mu \\ y = -1 + \mu \\ z = \mu \end{cases}

Un punto de la recta ss es Ps(2,−1,0)P_s(2, -1, 0) y su vector director es v⃗s(−1,1,1)\vec{v}_s(-1, 1, 1).

a) Estudia la posición relativa de rr y ss según los valores de mm.

Primero, comprobamos si los vectores directores son paralelos. Si v⃗r=kv⃗s\vec{v}_r = k\vec{v}_s:

(1,1,m)=k(−1,1,1)  ⟹  {1=−k1=km=k(1, 1, m) = k(-1, 1, 1) \implies \begin{cases} 1 = -k \\ 1 = k \\ m = k \end{cases}

De las dos primeras ecuaciones se obtiene k=−1k = -1 y k=1k = 1, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, los vectores directores v⃗r\vec{v}_r y v⃗s\vec{v}_s no son paralelos para ningún valor de mm. Esto implica que las rectas rr y ss no pueden ser paralelas ni coincidentes; solo pueden cortarse o cruzarse.Ahora, formamos el vector PrPs⃗\vec{P_r P_s} que une un punto de rr con un punto de ss:

PrPs⃗=Ps−Pr=(2−1,−1−1,0−2)=(1,−2,−2)\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (2 - 1, -1 - 1, 0 - 2) = (1, -2, -2)

Para determinar si las rectas se cortan o se cruzan, calculamos el determinante de la matriz formada por los tres vectores v⃗r\vec{v}_r, v⃗s\vec{v}_s y PrPs⃗\vec{P_r P_s}:

det⁡(v⃗r,v⃗s,PrPs⃗)=∣1−1111−2m1−2∣\det(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}) = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \\ m & 1 & -2 \end{vmatrix}
=1⋅(1⋅(−2)−(−2)⋅1)−(−1)⋅(1⋅(−2)−(−2)⋅m)+1⋅(1⋅1−1⋅m)=1⋅(−2+2)+1⋅(−2+2m)+(1−m)=0−2+2m+1−m=m−1= 1 \cdot (1 \cdot (-2) - (-2) \cdot 1) - (-1) \cdot (1 \cdot (-2) - (-2) \cdot m) + 1 \cdot (1 \cdot 1 - 1 \cdot m) \\ = 1 \cdot (-2 + 2) + 1 \cdot (-2 + 2m) + (1 - m) \\ = 0 - 2 + 2m + 1 - m \\ = m - 1

Analizamos los casos según el valor del determinante:1. Si det⁡(v⃗r,v⃗s,PrPs⃗)=0  ⟹  m−1=0  ⟹  m=1\det(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}) = 0 \implies m - 1 = 0 \implies m = 1.En este caso, los tres vectores son coplanarios. Dado que los vectores directores no son paralelos, las rectas se cortan.2. Si det⁡(v⃗r,v⃗s,PrPs⃗)≠0  ⟹  m−1≠0  ⟹  m≠1\det(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}) \neq 0 \implies m - 1 \neq 0 \implies m \neq 1.En este caso, los tres vectores no son coplanarios. Dado que los vectores directores no son paralelos, las rectas se cruzan.Resumen de la posición relativa:* Si m=1m = 1: Las rectas rr y ss se cortan.* Si m≠1m \neq 1: Las rectas rr y ss se cruzan.

b) Para m=1m = 1, calcula el coseno del ángulo que forman las rectas rr y ss.

Para m=1m = 1, los vectores directores son:

v⃗r=(1,1,1)\vec{v}_r = (1, 1, 1)
v⃗s=(−1,1,1)\vec{v}_s = (-1, 1, 1)

El coseno del ángulo α\alpha que forman dos rectas se calcula mediante la fórmula:

\cos(\alpha) = \frac{|\vec{v}_r \cdot \vec{v}_s|}{\|\vec{v}_r\| \cdot \|\vec{v}_s\|}

Calculamos el producto escalar:

v⃗r⋅v⃗s=(1)(−1)+(1)(1)+(1)(1)=−1+1+1=1\vec{v}_r \cdot \vec{v}_s = (1)(-1) + (1)(1) + (1)(1) = -1 + 1 + 1 = 1

Calculamos los módulos de los vectores:

∥v⃗r∥=12+12+12=1+1+1=3\|\vec{v}_r\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}
∥v⃗s∥=(−1)2+12+12=1+1+1=3\|\vec{v}_s\| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}

Sustituimos en la fórmula del coseno:

\cos(\alpha) = \frac{|1|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3}

El coseno del ángulo que forman las rectas rr y ss para m=1m = 1 es 13\frac{1}{3}.